结构动态应力计算方法研究

    1　引　言

    工程结构的动力分析,特别是其在地震作用下的动力分析,是工程结构设计中的一个重要问题。工程结构,如高架渡槽等动力分析的主要目的是求得结构本身的动态特性及其在地震等动力荷载作用下的变形、应力与内力全过程,从而为结构的抗震设计提供正确的依据。众所周知,在有限元法中,动应力的准确计算始终是一个没有圆满解决的问题,吸引了人们在这方面不断地进行探索研究,尝试用各种方法解决[1,2]。

    在常规有限元法中,应力是通过对单元形函数的微分来求得的,故常规有限元法的应力计算精度较其位移计算精度低,这一点已为大家公认。这一现象对动力问题更加突出,尤其是当荷载的激励频率较高时,常规有限元法就很难反映单元内部应力的剧烈变化,造成结构动应力的计算误差偏大。常规有限元法计算结构动态应力之所以有较大误差,是由于其应力的分布在单元内为线性或常量,而实际动应力的分布一般为一超越函数[1],故常规有限元中计算应力的方法不能很好地反映动应力的分布。当单元尺寸不大时,单元中动应力的分布变化不是十分剧烈,二次曲线线型可以很好地逼近它。如果能找到一个二次幂函数表示的应力分布,使其在边界上满足给定条件,且在域内满足平衡方程,则可用此二次函数逼近单元内的实际应力分布,从而求得较为精确的动应力值,这即是本文提出的研究结构动应力计算方法的思路,而这一思路是通过最小余能原理来实现的。

    2　最小余能法

    由最小余能原理可知,如果在单元内部假定一个应力场,使其在单元内满足平衡条件,同时在单元边界上定一个位移插值函数[Z],而[Z]是应用于每段边界上的,不是应用于整个单元的,所以构造它比较容易。在计算结构动应力时,可以假定应力在单元内部按二次曲线形式变化,用此二次曲线逼近

应力在单元中的实际变化曲线,当单元尺寸合适时就获得相当精确的计算结果。由此应用最小余能原理就可以求得已知边界位移时的内部应力场。

    本文以平面八结点等参单元为例,具体说明动应力计算的最小余能法。

    设平面八结点矩形等参元的边界平行于坐标轴,单元沿x和y方向的边长分别为a和b,单元的结点位移和边界面力如图1所示。

假定单元内部的动应力场为坐标的二次函数且具有以下的形式[3]:

写成矩阵形式

式中为单元动态应力向量;{σ} =[σxσyτz]T为单元静态应力向量,即满足单元静力平衡方程的应力向量;{σa} = [ρaxx　ρayy　0}]^T为单元内由于惯性力引起的应力分量;其中ρ为材料的密度,ax= 2ux/ t2,ay= 2uy/ t2分别为应力计算点沿x,y方向的加速度。