三线摆方程简化及其共振问题研究

　　刚体惯性参数作为结构动态设计的重要参数,在工程领域中有着广泛的应用,例如汽车动力总成悬置系统的匹配设计[1]。形状或结构复杂刚体的惯性参数,一般难以通过计算得到。相对准确地获取惯性参数信息,通常要依赖于各种测试方法,如落体测试法、扭摆法、复摆法、力矩平衡法、模态参数识别法等[2]。

　　工程中广泛应用的三线摆方法属于振摆测试法。让摆盘或支架与被测刚体同时近似作线性扭转振动,通过测量扭振周期确定刚体对竖直轴的转动惯量。将三线摆系统近似为线性振动系统是有条件的,在这方面,前人做了大量的工作。于治会[3-4]针对大摆角扭转振动的特点对振动方程做了推导,并以实验验证。盛忠志[5]等对三线摆近似条件做了详细的计算。也有很多文献针对工程实际,详细介绍了三线摆的具体建设方法[6-7]。但对工程应用中,三线摆微幅扭转振动方程的线性化对设计参数及被测刚体参数的具体要求,却未见有文献深入探讨。

　　除受到广泛关注与应用的扭振外,三线摆系统还有一个主运动,即横向摆动。当扭转振动频率与横向摆振频率相近时,两种运动将相互耦合,能量在二者之间传递。这时,即使初始位移是单纯的扭转角,惯性参数测试实验也将因共振而无法进行。结合三线摆测试实际探讨两种振动耦合的影响与相应措施似乎也未有文献涉及。

　　为此,本文首先通过对三线摆扭转振动方程的推导,根据实际工程测量的要求,讨论了方程线性化对系统参数及被测刚体参数的要求。而后,依据三线摆扭转振动与横向摆振频率的计算式,分析并给出了与设计参数及被测刚体参数相关的运动耦合条件。最后结合一个工程实例进一步阐述了三线摆设计与应用中需要注意的问题。

　　1　扭振方程及其简化

　　1·1　扭振方程

　　三线摆作扭转振动,如图1,摆盘在水平面内扭转的同时,伴有竖直方向上的平动。考虑到工程应用中以平行三线摆为主,此处仅考察平行三线摆—即静止状态下,三根悬线彼此平行,下部摆盘水平。

　　系统动能(KE)包括转动动能(KER)与平动动能(KET)两项

　　Jcz为刚体系统(包括摆盘与被测刚体)对竖直轴z的转动惯量,m为刚体系统的总质量,θ为摆盘在水平面内绕z轴的转角,h为系统在竖直方向上的位移。

　　系统的势能为重力势能

　　摆盘半径与摆线长度分别以R和L表示。由图1中几何关系可知,

　　对正弦项作Taylor展开

　　依据惯例约定:“数a远小于b”等价于

　　实际测试中,一般限定转角|θ|<5°。可以证明此时式(5)中第2项远小于第1项,h可以近似为