改进的Kelvin碰撞分析模型

　　在强烈地震作用下紧密相邻的结构将会发生碰撞从而导致结构部件或者整体结构的严重破坏，各国的研究人员在这一方面做了大量的相关研究[1―4]。结构碰撞是一复杂的非线性问题，为了研究碰撞作用下结构的响应，使用合理的碰撞分析模型是十分有必要的[5]。目前，进行结构碰撞分析有两种方法：第一种是基于碰撞回弹系数的 Stereo-mechanical 方法;第二种则是通过建立反映碰撞力与碰撞相对侵入位移的数学模型进行结构碰撞分析。但是这些碰撞分析的方法或模型都存在一定的不足，或者不能合理反映碰撞的物理事实，或者在土木工程结构中的应用存在一定的局限性。

　　本文首先在对已有文献中主要碰撞分析的方法或模型进行评述的基础上，提出了既能够合理反映碰撞物理事实又能在实际结构碰撞分析中应用方便的改进的Kelvin 模型，并对该改进的 Kelvin模型中阻尼常数的确定进行了理论推导以及数值验证。

　　1 已有碰撞分析模型的评述

　　目前有两种方法可以进行结构的碰撞分析。第一种方法基于经典碰撞理论中的能量和动量守恒定律，根据碰撞前两物体的靠近速度v1 和v 2以及反映碰撞能量损失的回弹系数e (e =1 表示完全弹性碰撞，e =0 表示完全塑性碰撞)确定碰撞后两物体的分离速度v′1 和v′2[6]：

　　其中，回弹系数e 与碰撞物体的材料和几何特征相关，可通过试验确定。由于这种方法在进行碰撞的数值分析时不是很方便，一般很少使用。第二种方法则是通过建立碰撞力的数学模型进行结构碰撞分析，因而被广泛的使用。下面将针对目前已有的碰撞分析模型进行简要评述。

　　1.1 线弹性模型

　　线弹性模型是最简单的碰撞力模型，但没有考虑碰撞的能量损失。当两物体碰撞接触时，碰撞力与两物体的相对位移成正比，其数学表达式如下：

　　其中：δ 为两物体碰撞接触时的相对位移;k 为碰撞弹簧线性刚度。

　　1.2 Kelvin 模型

　　Kelvin 模型通过在线弹性模型的基础上引入线性粘滞阻尼来表示碰撞过程中的能量损失，其表达式为：

　　其中，粘滞阻尼系数c 由下式确定：

　　其中，m1 和m2 为两碰撞物体的质量。但是在这个模型中，由于粘滞阻尼系数固定不变，一方面造成了在碰撞靠近阶段和回弹阶段的均匀能量损失;另一方面造成碰撞刚一发生时碰撞力出现跳跃以及在碰撞回弹阶段出现拉力，这些都与碰撞的物理事实不符。

　　1.3 Hertz 模型

　　基于由于两物体碰撞过程中接触面积随着相对位移的增加而增大，碰撞力的增加呈现出非线性这一事实，Hertz 模型将碰撞力表达成：