大挠度板非线性分析的循环迭代加权余量法

    薄板结构在工程上应用极为广泛,但是,薄板的大挠度非线性问题因其控制方程为高阶非线性耦合的偏微分方程组而使求解十分困难;对于这一问题的求解,不管是应用有限差分法或有限元法,还是各种半解析数值方法,寻找缩小求解方程阶次的技巧,以减少计算工作量是关键[1]。然而,非线性问题除了求解方程阶次需要减少以节省计算工作量外,更主要的由于求解方程是非线性耦合的,即使把问题化为代数方程,按上述方法也必须解非线性耦合的代数方程组,这也需要较大的计算工作量[2]。摄动法是人们求解非线性问题时常用的一种方法,它建立在所解非线性问题的线性解析解的基础上,由于实际问题的复杂性,这一解析解常难得到[1],因此,其应用也较为有限。

    本文提出循环迭代加权余量法,通过变量循环转换,将非线性方程组的求解问题变为单个非线性方程的求解;通过迭代,把非线性方程的求解变为线性方程的求解;利用加权余量法将线性方程的求解变为一组关于待定系数的线性代数方程组的求解。通过以上处理,一方面将非线性耦合方程组问题的处理变为了单个线性方程的求解,另一方面利用了计算工作量少的加权余量法变成线性代数方程组处理也较为简单。

     为了说明本文方法的应用,我们处理了几种情况的薄板大挠度弯曲问题。

    1　循环迭代加权余量法原理

    这里以正交各向异性矩形板在横向荷载和面内荷载联合作用下的几何非线性问题为例,来说明本方法的原理。

    其控制方程为[3]:

其中:E₁、E₂与ν₁₂、ν₂₁分别为两个弹性主方向的弹性模量和泊松比;G12为剪切模量;h为板厚;q₀为横向荷载幅值;p为横向荷载函数;w与ψ分别为挠度和力函数。

    边界条件如为简支且面内作用压力Nx和Ny,则:

若为固支,则只需把上式中的w,xx和w,yy分别换成w,x和w,y即可;若无面内边界荷载,即为Nx=Ny=0。

    为计算方便,作以下无量纲化:

则方程(1)、(2)和边界条件式(3)变为:

　　为了求解(5)和(6)式,选择初始试解W=W(0),并设应力试函数F=F(1)(F(1)是关于待定系数f⁽¹⁾mn的函数),则可由(6)式得残差方程,由一般加权余量法就可确定f⁽¹⁾mn;设挠度W=W^(1), W⁽¹⁾是关于待定系数w⁽¹⁾mn的试函数,把所得F⁽¹⁾及试函数W⁽¹⁾代入式(5)得残差方程,由权余法得w⁽¹⁾mn;再设F=F⁽²⁾,F⁽²⁾是关于待定系数f⁽²⁾mn的函数,将所得解W⁽¹⁾及试函数F⁽²⁾代入(6)式得残差方程,由权余法可确定待定系数f⁽²⁾mn……。以此类推,可求解出第n次近似解F(n)及W(n),若第n次与第(n-1)次解相差甚少,即认为满足精度要求。