变截面压弯构件挠度的一种数值计算方法

　　压弯构件是同时受到横向力和轴向力作用的构件.在计算其挠度值时,除了要考虑横向力的作用,还必须考虑轴向力所产生的二阶挠度的影响.变截面压弯构件的挠度计算,由于构件的截面惯性矩沿轴心线方向变化,在惯性矩变化不能用简单函数表示时,求解挠曲线微分方程十分困难,甚至不能得到挠度的解析解,因此目前在计算其挠度时通常采用数值计算的方法.例如有限差分法,瑞利-利兹法等.在文献[1]中笔者用积分矩阵法求解了变截面受弯构件的挠度问题,并与有限差分法作了比较.结果表明,该法求解的精度高于有限差分法.文中将进一步研究积分矩阵法在求解压弯构件挠度中的应用.

　　1　逐步逼近方法

　　1.1　逐步逼近方法的基本思想

　　压弯构件的挠度要考虑轴向力所产生的二阶挠度的影响,而二阶挠度又随着构件弯曲过程中挠度的变化而变化,如何在挠度的计算中正确地反映二阶挠度的变化影响就成为解决问题的关键.为此引入逐步逼近的思想.

　　设变截面压弯构件长度为l,截面惯性矩为I(x),它是构件轴向坐标x的函数、轴向力为F1,横向力为F2.构件的弯曲挠度可以看成是下列弯曲过程的累加结果.

　　设构件在F2力作用下产生的初挠度为y0(x).此时由于轴向力F1的作用会产生附加弯矩F1y0(x).这一附加弯矩将产生新的挠度y1(x).而y1(x)又将产生新的附加弯矩F1y1(x),从而又导致挠度y2(x)产生.…….如此重复下去,就得到了挠度的无穷序列{y0(x),y1(x),y2(x)…}.这个无穷序列的和就逐步逼近构件的挠度.即

　　因此,求解压弯构件的挠度就转化为求无穷序列{y0(x),y1(x),y2(x),…},序列中的每一个挠度可对下列挠度微分方程序列进行顺次求解获得,即

　　这个序列的求解过程表明,只要压弯构件处于稳定状态,那么所求得的二阶挠度是逐次减小的,这个计算过程是收敛的.由式(1)所得的结果就将随着j的增加而逐渐逼近压弯构件的挠度.一般而言,只要取前面3～4次求解过程的计算结果就可以达到工程精度的要求.

　　1.2　挠曲线微分方程序列的求解

　　求解挠曲微分方程序列(2),(3),(4)中的每一个微分方程采用数值解法.本文采用积分矩阵法.该算法在文献[1]中作了详细论述,此处只给出相关的计算公式和说明.

　　设压弯构件两端简支,并沿构件轴线均匀截取(n-1)等分.即有n个等分点,利用积分矩阵法求解微分方程序列(2),(3),(4),可得到

式中:y0——横向力F2的弯矩作用下在等分点处的挠度向量.这是由横向力产生的初挠度;

　　yj——第j次计算时在等分点处的挠度向量.它是由轴向力产生的二阶挠度;