平行壁面间的圆柱绕流

　　在自然界和工程实际中,存在着大量的流体绕过物体的流动问题(简称绕流问题),例如河水流过桥墩,机翼绕流等。在实际绕流中,由于粘性的存在会产生阻力。在本节讨论中不考虑粘性的影响,即理想流体绕过圆柱体的流动。

　　在理想不可压缩流体的平面势流问题中主要是绕流问题,其中平行流绕圆柱流动是最基本的问题。

　　考虑恒定不可压缩流体平行壁面间的圆柱绕流。

　　设有一个速度为u的平行流绕过一半径为r的圆柱体。所有空间尺度以圆柱半径为单位。有限差分法往往考虑有限的区域,因此,设在离圆柱中心2倍半径的上游处流动受圆柱的扰动影响可忽略,流速均匀分布。该处速度μ沿x轴方向,为方便起见，设大小为一个单元(x=1)。由于流动是对称的,故可取四分之一(ABCDEA部分)流场求解,计算量可以减少到1/4。

　　1　数学模型

　　速度势和流函数ψ应满足拉普拉斯方程(Laplace)。

　　尽管φ和ψ所满足的微分方程是一样的,但其边界条件不同。φ的边界条件绝大部分是第二类边界条件。这对差分处理很不方便。而ψ的边界条件基本上是第一类的,比较容易作差分处理。故本例中采用流函数ψ作为未知函数。

　　2　流场离散化

　　为了用差分法求解势流,首先要用网格将流场离散化。这里为讨论方便,取步长Δx=Δy=h=0.05,即为正方形网格。网格的交点称为结点,用编号(i,j)表示。指标i和j的编号见图。i=0,1,2……,20,j=0,1,2……,20,流场离散化后,最终的解就是网格交点上的流函数ψ值。流场的结点分为正则内点、非正则内点和边界点。

　　3　差分方程

　　3.1　在正则内点:

　　3.2　边界点:

　　上壁面上ψ0,j= 1,j= 0,1,2……,20

　　下壁面上ψ20,j= 0,j= 0,1,2……,20

　　在进口边界上,

　　ψi,0= (20 -i)×h,i= 1,2……,19

　　在出口边界上,

　　3.3　在非正则内点:

　　判断点(i,j)是正则内点还是非正则内点时,先计算圆心到结点(i,j)和它的四个相邻点(i-1,j)、(i+ 1,j)、(i,j+ 1)、(i,j- 1)的距离l和ls、lx、lz、ly。若l>r,lz>r,ly>r,ls>r,lx>r,则点(i,j)是正则内点。若l<=r,则点(i,j)在流场外,不在计算范围内。如果相邻四个点至少一个在流场之外(l>r,lz<=r或ly<=r或ls<=r或lx<=r),则点(i,j)是非正则内点。

　　4　求解差分方程

　　恒定不可压缩流体势流的差分格式是一线性代数方程组,其解法有简单迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。我们采用简单迭代法,其迭代算式为ψi,jk+1=14×(ψi-1,jk+ψi,j-1(k)+ψi,j+1k+ψi+1,j(k))