夹层梁的弹性解研究

　　0　引　言

　　夹层梁具有高比强度、高比模量、质量轻及抗腐蚀等性能而被广泛使用于工程结构、航天工业、桥梁、民用建筑。但是,夹层梁的剖面为叠层结构,抗剪强度低,而且在变形过程中存在着拉伸-扭转、弯曲-扭转的耦合作用,结构在变形后固有平面外的翘曲变形比较大,上述几点造成了其理论计算及工程应用的困难。因此,如何获得一个精确和实用的计算模型,是一个亟需研究的课题。

　　长期以来,人们对夹层结构进行了大量的研究,提出各种夹层理论[1]。它们的共同基础均建立在梁的初等弯曲理论之上,即假定弯曲后整个横截面或各层的横截面仍保持平面,未超出平面假设的范畴。本论文从Euler-Bernoulli梁理论和弹性理论入手,对受横向荷载的夹层梁的力学行为进行较为深入的研究,尽管弹性解局限于较为简单的几何条件、边界条件和荷载,但是它可以给出精确的解答,这对于理解其力学本质和进一步的研究很有价值。

　　本文采用解析方法,面层用Euler-Bernoulli梁理论来分析,中间夹层用弹性力学理论分析,其中,在分析夹层时采用B.V.Sankar提出的非均质梁的理论[2]。按弹性理论导出了既满足控制方程又同时满足全部边界条件、层间应力和位移的弹性解。

　　1　弹性分析

　　夹层梁的几何形状如图1,梁长为L,中间夹层为2c,上下面层厚度均为h。整个梁分为上面层、下面层和中间夹层三部分。每个部分都有自己基本方程,位移和力在交界面处连续,由此,可以得到整个夹层梁的位移和应力场,求解的步骤和有限单元法中的整合刚度矩阵有些类似。

　　下面将导出各个部分的控制方程,交界面处的力和位移,如图2所示。

　　2　上面层

　　上面层厚度及梁跨及中间夹层的厚度相比较小,忽略了剪切变形,因此可以用Euler-Bernoulli梁理论来分析。设t1(x),p1(x)分别是作用在上面层上表面的剪力和正压力,pa是作用在上表面的均布荷载,分析时,可以与正压力p1合成为一个力。目标是推出位移u(x,0)和w(x)。

　　梁的平衡方程如下[3],

　　u1(x)是上面层的下表面位移,w1(x)是横向挠度,和z无关。根据文献[4]和Euler-Bernoulli梁理论,当材料为各向同性时,有

　　假设位移和力分别是以下形式:

　　K[1]可以看作是上面层的刚度矩阵。

　　3　下面层

　　由于几何,物理性质相似,所以下面层的分析同上面层,最后得到

　　同上有

　　4　中间夹层

　　根据中间夹层的荷载,几何条件及边界条件,采用经典弹性力学理论来分析,不考虑自重,而且σy=τyz=τyx= 0则平衡微分方程为[5]: