再论工程力学中超静定结构的特征

　　工程力学中涉及到两类结构,或者说两类问题[1],其一是当结构或者构件所受的约束反力或内力均能通过静力平衡方程求解,也就是未知的约束反力或内力的数目等于独立的静力平衡方程的数目,即所谓的静定问题;其二是结构或者构件所受的约束反力或内力仅凭静力平衡方程不能全部求解,也就是未知力的数目多于独立的静力平衡方程的个数,即叫做超静定问题.在超静定结构中,因存在多余约束,从而出现了多余未知力,多余约束的数目叫做超静定的次数.在此,只由静力平衡方程无法解出全部的未知力,还需要由变形几何相容条件和力与变形的物理关系建立补充方程,这样就增加了问题的难度.理论力学、材料力学中以静定结构的研究为主,结构力学则大量涉及超静定结构,工程实际中也广泛采用超静定结构.那么,超静定结构有怎样的特性,与静定结构比较,究竟优越在哪里,下面就该问题作如下分析.

　　超定定结构的特点:

　　1)在荷载作用下,内力的分配更加合理,也即各杆的内力、应力和变形均较小,这样以来,选较小的截面尺寸就能满足强度和刚度条件,从而减少了用材,减轻了自重.因此,工程实际中的承重、大跨度等结构中被广泛采用.

　　2)对于超静定结构,在荷载作用下,各杆的内力与各杆的刚度比值有关,而静定结构的内力与各杆的刚度无关,改变各杆的刚度时,各杆的内力不变.

　　例如拉压问题.图1(a)表示静定结构的桁架，荷载P及α已知,l1=l2=l,各杆的刚度分别为E1A1和E2A2,由平衡条件可得:

　　若E1A1=E2A2,两杆的变形Δl1=Δl2=Δl=NlEA,力作用点的位移为

　　若在图1(a)中加进杆3,则变成了如图1(b)所示的超静定结构.设杆3的刚度为E3A3,在E1A1=E2A2的情况下,将静力平衡方程与补充方程Δl1=Δl2=Δl3cosα联立解得:

　　力作用点的位移

　　因cosα< 0,分母的括号中第一项大于1,故知后者的变形δ′<δ.

　　对于弯曲问题也存在类似的结果.例如图2(a)所示的简支梁,受均布荷载作用,荷载集度为q(kN·m-1),由平衡条件可求得,支座的约束反力RA=RB=ql2,参考剪力和弯矩图可知

　　跨中最大挠度

　　如果在梁中间添加一个支座C,则变为超静定问题,如图2(b)所示,梁的受力图为(b)′,变形协调条件为C点的挠度νC= 0,与静力平衡方程联立可解得支座的约束反力为

　　又由剪力和弯矩图可知

　　而梁的变形(挠度)有原来的简支梁中各力引起的正挠度,还有因RC同时引起的负挠度,这样,C点的挠度为零,其他各点的挠度在原来的基础上都减小.