变厚度矩形板的固有频率公式

　　矩形板的自由振动是工程中的基本问题之一.矩形板在航空、机械、造船和建筑行业中常会遇到.对这些板的动力特性的研究是很有必要的.鉴于工程中常见的是等厚度或沿一个方向线性变厚度矩形板,本文给出了数种边界条件,沿一个方向线性变厚度矩形薄板的自振频率参数;建立了计算按直线变厚度矩形板的自振频率参数的公式.按直线变厚度矩形板的自振频率参数由本文提供的公式计算则是非常容易的.

　　1　原理

　　1.1　薄板横向振动时的应变能和动能

　　根据薄板理论可知薄板的应变能为

　　式中:h(x,y)是薄板的厚度;ρ是单位体积的质量;W是振型函数;μ是泊松比.

　　1.2　里兹法建立薄板的广义特征值问题

　　里兹法是计算结构物前几个频率和振型的比较方便的方法.这种方法实际上是以能量变分原理为依据把泛函极值问题化为多元函数极值问题,取幅值为Ai的假定振型为

　　式中:Ai为互不依赖的待定参数,是未知的;φi(x,y)是最好能满足全部边界条件,至少满足位移边界条件的坐标函数.由里兹法可以导出Ai的一组齐次线性方程组

　　式中:ω是薄板的自振圆频率;w为挠曲位移的振幅.式(4)是广义特征值问题,从中解出圆频率ω和系数Ai,代回式(3),即得振型.

　　2　矩形板的自由振动

　　2.1　振型函数

　　求解板自振频率时,取板的振型函数是在梁的振型函数基础上加以修正和组合.求解板的自由振动时,建立如图1所示的坐标系,取振型函数为

　　式中A, B, C, D, A1, B1, C1, D1是由边界条件决定的常数.

　　2.2　广义特征值问题

　　为形成(4)所确定的广义特征值问题,需计算以下几个偏导数

　　把(5)至(8)式代入(4)式得

　　经过繁杂的推导,可以写出广义特征值问题的矩阵形式为

　　把K称之为广义刚度矩阵,M是广义质量矩阵,而且M是对称正定的,K是对称的.在计算K和M时可以仅计算上三角或下三角.本文对各种情况下形成的广义特征值问题均采用经Househoulder变换后由带原点移动的QL法求解.

　　2.3　变厚度板的求解

　　在计算变厚度板的自由振动时,能量式(1)和(2)仍然适用,广义特征值问题(4)形式不变.对变厚度板仍取如图1所示的坐标系.为了简化计算,这里取板的厚度沿x方向呈线性变化,而沿y方向是等厚度的.这样,厚度仅是x的函数.在x=0处板的厚度是h0,在x=a处是h0(1+α),在x处厚度是h01+αx/a,其中α称之为厚度系数.

　　按着和等厚度板同样的步骤可以导出广义特征值问题

　　K和M的特点,及解广义特征值问题的方法均同前.