软手指抓持力的子空间分析法

　　1　前言

　　近年来,在多指灵巧手抓持物体的研究中,接触模型的建立已经从以往的点接触模型深入到软手指模型〔1〕.在抓持力的计算中,现有的研究都集中于抓持力为纯力向量作用时的情形〔2〕.而实际上,软手指模型更相似于人类自然手的结构和柔顺性,并可稳定安全地抓持物体,尤其对于抓持一些脆性、易碎物体等.可是,由于软手指模型的引入,求抓持力的问题是一个力的超静不定问题.而随着手指数目的增大,超静不定问题变的愈来愈复杂,尤其是在实时的力的控制中难以快速地计算出瞬时的抓持力.考虑到这些情况,为了简化力的计算的复杂性,本文提出一个新的方法即子空间分析法,把超静不定问题在其零空间转化为在几个对应的不同力分量的子空间进行求解,这样降低了求解抓持力的维数,简化了问题的分析.在此基础上,考虑在软手指接触中,维持接触的力的限制条件及手指关节极限力矩的限制条件,导出了确定各力分量中有关向量的不等式.根据这个不等式,我们可以很方便地确定各手指尖的抓持力,最后以人类通常所采用的两手指抓持物体的方式——对极点抓持为例进行了讨论,证明了方法的简便性和有效性.

　　2　软手指作用力模型

　　图1所示为软手指抓持物体状态,每一接触点接触力(fi,mi)沿法线、切线和负法线方向可以表示为以下形式:

式中,分别表示第i个接触点的单位法向量、单位切向量和单位负法线向量、物体坐标系的原点在物体的质心处,作用在物体上的外力应当由所有手指抓持物体的力所平衡,我们有:

　　从数学意义上求Ft,Fo,Fn,MT的方程(2)有解的条件是:4l>6,因为l应为整数,所以l值必须大于等于2.在物理意义上,抓持任意物体使用软手指其最小接触数目是两个可以保证抓持系统的力封闭.这个结论与文献[3]是一致的.根据线性代数我们有,当l=2时,方程(2)的解可表示为其特解和齐次解的组合:

　　特解可按下列简单方法求解,在方程(1)中,令(4l-6)个向量为零,剩下方程为一般的线性方程,求解这个方程而得到该方程的特解.当然也可以用广义逆的方法求其最小二范数特解,但其求解时间量大.齐次解可表示为W矩阵的零空间的基向量的线性组合,当维数比较小时,其零空间的基向量可有解析式;在维数比较高时,我们可以用求齐次方程的办法来解决,让式(2)的右端为零,这时就成为一齐次方程,求出其对应的一组线性无关的解向量[ξ₁,ξ₂,…,ξ_(4l-6)]即为其零空间的基向量.那么,齐次解可表示为:

 （4）

从而选择合适的k值组合成不同的内力分量.

　　现在我们研究平面抓持的情况,由于切线矢量与法线矢量在包含接触点的同一平面内,负法线矢量与它们垂直.