形状记忆合金受弯杆横截面上的应力分布

    形状记忆合金(Shape Memory Alloys,简称SMAs)的力学性能与普通金属材料有很大不同,它具有应力应变高度非线性,不能使用经典材料力学的理论建立外荷弯矩与应力应变间的关系,给材料的工程应用带来诸多不便·

    许多学者对轴向拉伸状态下,SMAs的热力学本构关系进行了大量研究,建立了相应的本构理论[1~3]·但对于在弯矩作用下材料内部的应力应变分布状况尚未见到有关报道·为此,笔者以Brinson本构模型为基础,对该问题进行了如下所述的研究工作·

    1　单向拉伸状态下的热力学本构模型

    由热力学第一、第二定律,Tanaka[1]提出了形状记忆合金的热力学方程

式中:D为杨氏模量,D=DA+ξ(DM-DA),其中DA和DM分别为奥氏体态和马氏体态下的杨氏模量;Θ为热弹性张量;Ω为相变张量,Ω=-εLD,其中εL是相变过程中的最大可回复应变·对于内变量马氏百分数,Tanaka采用了指数模型

式中:Aa,Am,Ba,Bm为与相变温度As,Af,Ms,Mf有关的材料常数·

    Liang和Rogers在Tanaka模型的基础上将式(1)积分后得到了用全量形式表示的本构关系,并提出了用余弦形式表示的相变方程[2]·在此基础上,Brinson进而提出了ξ=ξS+ξT的假设[3],其中ξT表示温度引起的马氏体百分数,ξS表示应力诱发的马氏体百分数,并提出了新的热力学方程

式中,ξT与ξS可按下述方法计算·

    在外力作用下,材料内部晶格由奥氏体(A)向马氏体(M+或M-)转变,当T>Ms,且应力处于σcrs+

    在外力减小,应力、应变处于回复状态时,内部晶格由马氏体向奥氏体转变,当T>As,并且应力处于C_A(T-Af)<σ

    2　外荷弯矩与截面应力的关系

    为了使计算理论具有较大的应用范围,设截面为任意形状,且为纵向长度的函数,即

    x =f(y,z)             (5)

    根据材料力学的基本理论,可以得到外荷弯矩与截面 内应力之间的关系

　　从本构方程式(3)、式(4),可以看出形状记忆合金材料的应力、应变和马氏体百分数三者互为函数关系,无法使用式(6)直接建立外弯矩与截面内应力的线性表达式,只能在给定应变的情况下,使用非线性方程求解方法得到应力,再将式(6)中的截面高度离散成N等份后求和,从而建立外荷弯矩与截面内应力之间的关系,即

    式(7)实质上体现了将材料沿构件的纵向等效成若干纤维丝的组合的思想·

    3　受弯截面上的应力分布

    设材料在弯矩作用下,截面以形心轴为中心发生转动,并假定在受力时由这些纤维丝组合而成的横断面上的应变大小沿着截面高度呈线性变化,即同一横断面的变形符合平截面假定·