杆系结构构件挠曲线试函数的选取初析

　　一、问题的产生

　　杆系结构分析中，无论是变形计算，还是稳定问题，如能准确地确定挠曲线方程，则可求得精确解。事实上，除少数问题外，绝大多数问题的挠曲线微分方程很难求得精确解，寻求高度拟合的挠曲线函数成为必要，但不同试函数选择方法，对挠曲线精度的影响不大相同。以图示悬臂梁为例:

　　对此问题，可以根据微分方程求解，也可以选取一试函数去逼近原始精确解。如选取试函数:

　　称R为余量方程。若对任意的x有R=0，并确定c的值，则称试函数:

　　上述方法是余量消除法，误差过大是因为余量消除准则过于粗糙，仅对一点采取余量消除法，并且参数选取上也仅只是单参数。如能改进试函数的余量消除准则，则可以获得较满意的近似解。

　　二、试函数余量消除准则的选取

　　最小二乘法原理表明，最佳的近似解是使余量的平方和最小.设试函数中包含一组参数cj，则余量必为参数cj的函数，用I(c)表示余量的平方在全域V内的积分，即:

　　由(12)可得出含有n个参数cj的方程组，求解可得cj。

　　对前述悬臂梁问题，我们取只含有一个参数。的试函数:

　　与精确解相比，误差为19.80%。精度较前大为改观。改善近似程度的途径还可以从试函数本身出发，适度增加余量参数，和改进试函数的形式。但通过改进余量消除准则，同样可以在同一函数中取得较为精确的结果，从而避免因余量参数过多或采取高次函数而带来的求解困难。仍以前述悬臂梁为例，采用伽辽金法。

　　三、结论

　　从前面的分析可知，对同一拟合曲线，由于采取了不同的余量消除准则，最终结果的精度大不相同，从实际当中大量例子的分析来看，对于幂函数形式的试函数，采用伽辽金法，消除余量，其精度相对其它方法要好许多，应当成为首选的消除准则。

　　参考资料

　　1.《加权余量在结构分析中的应用》徐文焕陈虫L编著，中国铁道出版社

　　2.《建筑结构中的应用数学》卢承恕中国建筑工业出版社。

　　3.《材料力学》s.铁摩辛棵科学出版社

　　4.《数学物理方法》郭敦仁人民教育出版社

　　本文作者：徐晓莲