带有多项式基的径向点插值无网格方法

　　0　引　言

　　无网格法(MeshlessMethod)是一种新型的计算力学方法。它采用基于点的近似,可以彻底或部分地消除网格,不需要网格的初始划分和重构,不仅可以保证计算精度,而且可以减小计算的难度。目前已提出许多种无网格法,主要有[1]光滑质点流体动力学方法(SPH),散射元法(DEM),无网格伽辽金法(EFGM),再生核粒子法(RKPM),单位分解法(PUM),点插值法[2](PIM)等。与有限元法不同,无网格法中使用的近似函数大都是拟合不具有插值特性,因此在基于Galerkin法的无网格法中对于位移边界条件的处理比较棘手。由Liu等提出的点插值方法则较好的解决了这个问题。点插值方法的插值函数具有delta函数性质可以很方便的施加本质边界条件,不足之处是在计算插值函数时矩阵易于奇异。

　　实际上,带有多项式基的径向点插值法[3]就可以有效地解决点插值法中遇到的矩阵奇异性问题。它采用径向基函数,基于散布于求解域中的一些离散点建立近似,是一种无网格近似。由于其插值函数也具有δ函数性质,使得本质边界条件可以像传统的有限元方法一样很容易施加。此外,文中将该方法用于二维弹性静力问题的求解,导出其相应的离散方程,最后通过算例分析,验证了该方法的合理性与有效性。

　　1　带有多项式基的径向点插值法基本原理

　　将求解域Ω用n个节点xi(i =1,2,…,n)离散。函数u(x)在域Ω中的近似函数uh(x)可以用以各节点xi为中心的径向基函数Bi(x)表示为:

　　采用径向基主要是为了避免刚度矩阵的奇异性问题,本文选用MQ(Multi- quadrics)函数为径向基函数,即Bi(x) = (d2i+c2)q　c >0其中c,q为参数。在式(1)有n个未知数,令近似函数uh(x)在节点xi处的值等于函数u(x)在该节点处的值ui,即uh(xi) =ui,可得到n个线性方程组:

　　其中:

　　由式(4)解出系数矩阵a,代入式(1)中得:

　　式中插值函数(有时也称形函数)矩阵φ为

　　径向基函数插值满足条件uh(xi) = u(xi) = ui(见文[4]),形函数φi(xj) =δij,因此很容易施加本质边界条件。这一特性是移动最小二乘近似(MLS)和重构核近似(RK)所不具备的。

　　M icchelli[5]从理论上证明了TPS是正定的,而MQ是条件正定的。增加线性多项式基后,MQ插值即变为正定的,并可提高多项式类函数的插值精度。引入多项式基后,径向基函数可表示为:

　　其中pj(x)是多项式基函数PT(x) = [p1(x),p2(x),…,pm(x)], bj是待定系数,b= [b1, b2,…, bm]T,式(10)中有n +m个未知数,可由下式确定:

　　因为距离是无方向可言的,所以有:Bi(xj) =Bj(xi),故矩阵B0对称。

　　由式(12)得: