一种自适应RKPM方法在动态大变形计算中的验证及应用

　　对于复杂的工程问题,问题域的精确解一般是无法得到的.分析这类问题,我们借助的是数值计算,如有限元分析.而数值计算首先就要求对问题域进行离散,而离散却是因人而异,具有随意性.对于给定结构的有限元分析,大多数情况下我们并不知道结果的特性.因此一般来说,先用初始均匀网格来离散结构(对于几何、载荷等突变部位可以有意识地适当加密),进行初次求解计算,然后不断根据计算结果调整相应的计算模型,直至得到满意的计算结果.但FEM在调整计算模型时,要求它的网格必须满足一定的拓扑和相容关系,因此新计算模型的生成存在很大的困难.无网格方法是近年来兴起的一种新的数值解法.它的基本思想同有限元方法基本一样,只是在构造形函数时,不局限于单元节点.在无网格方法中,研究的问题域由一系列的离散点组成,在进行仿真计算时,只需节点离散数据,而不需要单元之的连接信息,在自适应加密过程中可以直接地、自由地加入新的节点,非常适合自适应分析[1-6].

　　无网格再生核质点方法(RKPM)被广泛地应用于大变形问题的计算,在剪切带的模拟中,用FEM计算时,随着网格分布及密度的不同,剪切带呈不同的方向分布,这跟实验结果背离,但RKPM计算就比较稳定,因此也显示出一定的优势[7].本文在RKPM方法的基础上提出了一种新的h型自适应算法,并对该算法的正确性进行了详细的验证.

　　1　自适应PKPM分析

　　自适应无网格分析,即根据当前分析的数值离散模型的误差指标,自动判断高误差区域,进行模型调整,以改进数值分析结果.自适应有限元方法有h型自适应、p型自适应和hp型自适应几类方法.本文的自适应方法也是h型自适应方法的一种,即在高误差指示区域,按某种加密方案,直接插入一些节点,加密该区域,以提高求解精度.

　　1·1　等效应力、应变参考值的计算

　　高斯点上等效应力应变参考值的拟合通过下面的公式实现.应力插值:

　　1·2　积分子域内应变能误差的计算

　　积分子域内的应变能的计算值Ec及参考值Er通过下面两式定义.应变能的计算值

　　m为积分子域内的积分点数.应变能的参考值:

　　式中:E为问题域内所有高斯点上应变能的总和.值得注意的是:以上的应力及应变均为等效应力应变,并且计算能量时,我们忽略了积分式前的系数,因此计算的能量值并不是真正的应变能,但这并不影响误差的估计.

　　2　积分域的精细方案

　　为了保证积分域与影响域的边界一致[10],背景积分网格也做相应的改变(精细化),如图1(a)所示.若某一积分子域(背景积分网格)里的应变能误差η*超过误差限,则将它本身及与其相邻的积分子域均细分.值得注意的是:相邻的积分子域内并不增加新的节点