求解非均质变截面轴扭振固有频率的序列迭代法

    1　引言

    在机械工程中存在变截面轴或非均质变截面轴。在设计时,必须分析它们的扭振特性。因为严重的扭振会造成机械损毁的重大事故。然而,现有文献大多研究由多个等截面、均质轴组成的阶梯轴系的扭振特性,对非均质、变截面轴扭振固有频率研究的文献,实属甚少。

    文献[2]应用Bessel函数来研究楔形直杆的扭转振动,导出了推算仅是微弱楔度轴自主振动频率的近似值的计算公式。此方法在应用上具有局限性,只能解决楔形轴的扭振自主频率,且分析计算比较繁琐。

    文献[1]试图提出一种求解任意形状连续变化的非均质、变截面轴固有频率的普遍方法,但此文数学推导存在严重错误。在矩阵数学理论中,业已证明:对于矩阵A和B,当且仅当BA=AB时,式eA+B=eA·eB才能成立。然而文献[1]推导中违反了这一数学原理,因而其导出的结果也是错误的。

    本文用序列迭代法,可求解任意形状变截面、非均质轴扭振的固有频率,具有普遍性,且方法简明。虽然在迭代过程中,须连续积分,但应用现代数学程序,如:Matlab[5]、Mathematic等,可以由计算机积分,易于编制程序,方便工程设计。

    2　序列迭代法

    设θt和Mt分别为t时刻轴某截面的转角和扭矩,它们必须满足方程:

 式中:G——轴材料的剪切弹性模量;

      J——截面极惯性矩;

      I——单位长度转动惯量;

      θt、Mt——分别为t时刻轴截面的转角和扭矩。

令:x=lξ,θ_t=θe^iωt,M_t=Me^iωt          (2)

式中:l——轴的长度(图1)。

    则式(1)变为:

式中:I=I(ξ);J=J(ξ);G=G(ξ);

      ω——轴扭振的固有频率。

      将式(3)转换成矩阵微分方程:

    则方程(4)可写为:

    .X(ξ)=A(ξ)X(ξ)          (6)

    这是一阶变系数常微分方程。在现代矩阵理论中,已经完成了对微分方程(6)在X(0)=c时的解的存在性和唯一性证明,并且用迭代序列:

    给出了基础解T(ξ)的切实可行的方法[3]。本文用序列迭代法求出式(6)微分方程的迭代近似解:

　　X(ξ)=T(ξ)X(0)          (8)

式中:X(ξ)=[θ(ξ)　M(ξ)]T——ξ截面的状态变量;

      X(0)=[θ(0)　M(0)]T——轴左端的状态变量;

      T(ξ)——传递矩阵,表示轴ξ截面与轴左端状态变量的传递关系。

    用ξ=1代入式(8),可得到轴右端状态变量X(1)=[θ(1)　M(1)]T与左端状态变量X(0)的传递关系:

　　X(1)=TX(0)

或:

    在求轴的扭振固有频率过程中,将轴的J(ξ)、G(ξ)和I(ξ)分别用一个常数与一个函数的乘积表示,即: