基于梯度塑性模型的多孔介质应变局部化分析的基本理论

　　1 引 言

　　应变局部化现象在工程中大量存在，研究工作的重要性已被人们认同。与含液多孔介质相关，代表性的工作有：文^[1,2]研究了非渗透条件下的饱和土壤应变局部化的稳定性理论，文^[3]研究了非渗流条件下流体压力对多孔介质应变局部化的影响。文^[4]则基于动力学控制方程，对含液多孔介质可能存在的内尺度律进行了研究;在此基础上，文^[5,6]对多孔介质的应变局部化分析的分岔理论进行了较系统的研究，指出在特定情况下对于含液多孔介质应变局部化分析引入正则化机制是十分必要的。文^[7]将梯度塑性模型引入到含液多孔介质的应变局部化分析中，文^[8,9]的研究发现，由于多孔介质的渗流特征，引入塑性梯度时会存在渗流参数与塑性梯度参数作为不同内尺度参数的相互作用问题。文[^10]曾研究了粘性与梯度塑性本构模型的相互作用问题，但梯度塑性本构模型与多孔介质的渗流相互作用的基本理论仍有许多问题有待进一步研究。

　　本文工作的重点是研究引入梯度塑性模型后多孔介质应变局部化控制方程的若干基本数学特征，着重讨论与应变局部化基本理论密切相关的材料稳定性与内尺度律预测问题。

　　2 控制方程与梯度塑性模型

　　由于全耦合多孔介质动力控制方程的复杂性，为研究问题方便，并不失一般性，本文采用经过适当简化的多孔介质控制方程

　　3 稳定性分析

　　以介质内的一维波动为例进行稳定性分析，一维简谐振动波的形式如下

　　利用 Routh-Hurwitz 准则，稳定性满足的条件是

　　也就是说，波长小于 2πgl 的波可以穿越剪切带区域。这也正是单相介质应变局部化分析中引入梯度塑性模型后所获得的内尺度律的预测值[9]。

　　4 实波速对应的波数区域

　　当特征方程(5)的根均为实根时，动力波速成为虚值，内尺度参数的作用消失，可以证明在下列条件满足时

　　从图 1 和图 2 可以看出，渗透性的改变将明显改变实波速存在的波数区域的范围，当渗透系数变小时，波数区间变大，反之，波数区间变小。对 K=0和 K→∞ 两种情况，动力实波速区域趋近 0。

　　如果考虑到实际问题中的波传播对应的波数也应当有一个区间，最终有可能出现实波速存在的波数区间为 0 的情况。对这种现象最直接的解释是，实际问题的波数十分靠近波数为 0 或无穷大的区域，现象的数值解释可以参照图 1 情况中渗透系数非常大或者对于图 2 中渗透系数非常小或非常大的情况。