弯曲薄板的动态响应特性分析

　　1　引　言

　　众所周知,梁(或板)结构在横向周期力作用下可能发生混沌等非周期运动[1]。已有不少学者对屈曲梁(或板)在简谐力作用下的动态行为和混沌运动进行了分析[2,3],但是对弯曲梁(或板)的动态特性及可能发生的非周期运动研究得不多。在航空航天领域各种飞行器的结构中广泛使用着弯曲薄板。所以,研究这种弯曲薄板的动态响应特性,特别是了解非周期运动的发生条件和它的基本性质有重要的实际意义。作为这种研究的一个基础,本文用数值方法研究两边铰支弯曲薄板在分布简谐激振力作用下的柱型弯曲振动,主要考察曲率和激振力大小对动态响应的影响。

　　2　运动微分方程

　　考虑两边铰支弯曲薄板(如图1所示)的柱型弯曲振动问题。设其初始弯曲半径为R0：

板两边的边界条件为:

　　式(3)和(4)中, Y,ξ,K,τ,C和F分别表示无量纲化的位移,坐标,曲率,时间,阻尼和横向分布外力。式(4)中的ρ,E,ν和h分别表示板材密度,弹性模量,泊松比和厚度。

　　设横向分布外力为

　　3　数值模拟

　　为了分析曲率和激振力大小对动态响应的影响,本文利用四阶的Runge-Kutta法求解了微分方程(7),数值模拟了系统的动态行为。在计算中取C =0.25,ω=1,将激振力大小P和曲率K按一定步长划分成网格后,在每个网点上对系统的动态行为进行数值模拟。

　　3·1　激振力大小的影响

　　为了研究激振力变化对动态响应的影响,把曲率固定在某一值,考察P从0开始逐渐增大时动态响应的变化情况。表1是K=12的一个结果。从表中可以看到1周期运动,多周期运动(倍周期分岔),非周期运动(混沌)和3周期运动等交替变化的情况。

　　3·2　曲率大小的影响

　　为了研究曲率变化对动态响应的影响,把激振力P固定在各个不同的特定值,考察了曲率K变化对弯曲板响应特性的影响。如当P=15时,非周期运动出现在K<6·5和8·0< K<11·6区域。P=18时,非周期运动出现在K <8的区域。

　　图2是在K-P参数平面上按K和P的一定步长划分网格后逐个网点进行数值模拟得到的分区图。其中,各个区域是将同一类型运动发生位置连接起来所得到的图形。图3是在几种不同曲率值对系统响应的数值模拟后果。

　　4　结　论

　　本文研究了两边铰支弯曲薄板在分布简谐激振力作用下的柱型弯曲振动。在K(曲率)-P(激振力)参数平面上用数值分析方法得到了发生不同运动的分区图。结果表明,随着曲率和激振力大小的变化,此系统中几种不同的周期运动和混沌(非周期)运动交替发生。而且,无论在曲率较大或较小区域都可能发生非周期运动,但曲率变化对系统发生周期与非周期运动的激振力范围有一定影响。