板的弹塑性弯曲有限元分析中的分层法

    1　Mindlin板有限元分析方法

目前广泛采用的板弯曲理论通常有两种.一种是经典的Kirchhoff薄板理论,虽然该理论没有考虑 横向剪切变形的影响,但因其简单实用而广泛采用.另一种即Mindlin板理论[1],它考虑了横向剪切的 影响,该理论与Kirchhoff薄板理论根本不同之处在于:变形之前中面的法线在变形之后虽然仍保持直 线,但不一定垂直于中面.当剪切变形重要时,采用Mindlin板理论比较合适.本文主要采用Mindlin板 理论.

        采用标准4节点或8节点等参单元,则广义位移δ可表示为:

        式中:Ni=NiI3是形函数矩阵,δi=[wi,θxi,θyi]T是节点位移矢量,那么与弯曲变形有关的应变分量可表示为:

    2　板的塑性分析

严格来说,板的弯曲问题属于空间应力状态,屈服函数F应是(σf,σs)的函数[2],但由于发生弯曲 变形时,最外层纤维处的平面内应力最大,而横向剪应力最小;而在中面上横向剪应力最大,平面内应力 最小,因此可忽略τxz、τyz对塑性状态的影响,选取F(σf,H)屈服函数,即屈服函数F与横向剪应力无 关,其中H为强化参数. 当某点发生屈服时,除非出现卸载,否则应力总保持在屈服面上,故有F(σf,H)=0,这时增量应力 应变关系为:

    3　分层板的弹塑性切线刚度矩阵

         由虚位移原理可知,板弯曲的弹塑性切线刚度矩阵可表示为:

      很显然,对于塑性弯曲,在板的不同高度处,[Dep]f不相同,即[Dep]f是z的函数,但又无简单显示表达式,如何对(11)式进行积分,是解决非线性板弯曲问题的关键.可用数值积分方法来计算沿板厚的积分.首先将板沿厚度方向分成若干层(图2),(11)式变为:

计算表明m取10~12层可达到足够的精度.

而对于(12)式,由于[Ds]始终是线弹性的,所以不必进行分层计算而直接对z积分得:

        式中:α为考虑横截面扭曲的修正系数,通常取为1.2.

    4　计算实例

一周边固支的矩形薄板,板上承受均布载荷q,边长为0.2 m,厚度为0.005 m,材料性能参数为:弹性模量E=200 GPa;泊 松比μ=0.3;屈服极限σ0=262 MPa;强化参数H′=0. 采用8节点等参板单元,计算了板的中心O的法向位移w 随载荷q的变化情况,载荷位移曲线如图3所示. 对于其它非线性板的弯曲问题,如复合材料的板弯曲,同样 面临矩阵[D^]的计算困难,也可采用本文所讨论的分层方法进行计算

    参考文献:

    [1]　Hinton E, Owen D R J. Finite Elements in Plasticity[M].Pineridge Press, 1982.

    [2]　谢贻权,何福保.弹性和塑性力学中的有限元法[M].北京:机械工业出版社,1981.