集中力作用于顶点的球壳精确解

　　球壳的应用比较普遍,顶点承受集中荷载的情况亦常见于仪器、建筑、航天等工程结构。球壳研究比较充分,但强度与稳定仍需要有可靠的指标·Flügge W在很有影响的著作^〔1〕中取用Henkel函数描述集中力作用点局部的弯曲效应,所得内力都以该点为奇点,其中薄膜力却因假设μ=0而为有限值,这是错误的。此后的文献只是引用而没有纠正错误。新的严格解则至今没有提出过。本文通过球壳轴对称微元平衡分析,提出了环向线分布荷载下内力脉冲的概念,并据此判定,当集中力作用于顶点时,只有薄膜力表现出奇异性,而弯矩和剪力均为有限值,进而正确确立了壳顶条件,给出了固定铰支与固定两种边界条件下的精确解。

　　1　内力脉冲

　　球壳沿平行圆φ=φi承受线均布荷载p₁,p₃和m₁作用时,由微元体经向∑F_φ=0,法向∑F_γ=0和对c-c连线∑Mcc=0的平衡条件(图1),给出关系式

　　式中Dirac函数

　　(1)式的第1式表明,荷载p₁引起内力N_φ的突变,同时代表内力N_θ与Q_φ的脉冲;第2式表明,荷载p₃引起内力Q_φ的突变,同时代表内力N_φ与N_θ的脉冲;第3式表明,荷载m₁引起内力M_φ的突变,同时代表内力M_θ与Q_φ的脉冲·

　　球壳在其顶点作用集中力P是在任一环向作用线分布力p₁,p₃,m₁当φ=0时的特殊情况(图2)·这时,顶点成为点源,集中力P只代表薄膜力N_φ,N_θ的脉冲,而横向剪力Q_φ由(1)

　　式的第3式可知一定不是无穷大。换言之,在球壳的顶点,薄膜力表现出奇异性,而弯曲内力为有限值^〔5〕.

　　2　控制方程及其解

　　集中力作用于球壳顶点时,横向剪力Q_φ和中面法线绕纬线的转角ψ满足Reissner H方程

　　(2)式的解可由仅含剪力Q_φ的方程

　　的解得到.按Meissner E方式引入变量

　　(3)式化为

　　在方程(5)的奇点x=0的邻域内的两个正则解为

　　其中

　　3　壳顶条件与边界条件

　　反映顶点物理性态的壳顶条件可由内力脉冲概念的引入而确立为

　　边界条件与支承约束形式相适应，即

　　固定铰支边

　　固定边

　　式中:u_r为球壳平行圆半径方向的位移