优化波前法求解有限元方程

　　1、引言

　　波前法是进行有限元分析的一种有效的直接解法,由Irons提出并在中小型计算机上得到迅速推广应用,主要解决进行大规模有限元分析时内存不足的问题。它的主要优点是,①最晚被投放的节点最先被消去,因而它所需内存量可以最小。②波阵面的密集性可使零系数运算量大为减少,故尽管与其他直接解法相比增加了一些内外存交换所需的时间,但总体上机时消耗还是经济的。③波阵面的最大宽度仅取决于单元的编号顺序,而与节点的编号次序无关,这样便于计算机自动生成网格和进行节点编号。

　　尽管波前法的优点可使得在进行有限元分析时,几乎不用考虑机器内存和算题规模等的限制,但是当模型相当复杂时,当单元的编号顺序不够合理时,其所需内存量还是可观的。更为重要的是,由于MFR(最大波阵宽)的不必要增大,会导致内外存交换量剧增,使机时消耗不合理,并使算题的规模难以进一步加大。

　　自Irons提出波前法至今,人们已对其做了许多改进,如Hood将波前法发展到可求解非对称方程组。而关于单元投放次序,现有的策略为,①按单元自然编号顺次投放。②按节点编号的大小依次迭加相关单元。③每次迭加与波前中头一个节点相关的单元。④选择“最优”的迭加次序,先确定PE值最小的节点作为第一个主消节点,在完成迭加与消元之后修改PE,再取波前中PE值最小的节点作为主消节点,继续迭加消元(PE值即为本文中定义的节点的阶次)。

　　对以上投放策略加以分析即可看到,④法虽称最优,但由于在策略中仅利用了节点的信息,不直接且嫌少,故优化效果并不显著。本文参照人工智能技术中的启发式搜索,构造新的更合理的启发式信息,从而得出一种实用有效的波前投放策略

　　2、优化单元编号

　　波前法解题当中,最大波阵宽MFR不仅确定内存工作场地的大小,同时也决定内外存交换时单位记录的长度RECL,则总的数据交换量为为节点总数,乘2是因为数据交换包含写/读两个过程)。可见MFR越小,转存消耗的时间也越少。因此从这个角度来讲,MFR实际上决定着一个算题的计算规模。

　　单元编号顺序决定MFR,因此可通过优化单元编号(或单元投放顺序)来减小MFR,从而提高解题效率;同时还可得到确切的MFR值,避免试算。

　　2.1　优化原理　在有限元模型中,节点起着联结不同单元的作用。一个节点至少和一个单元相关联。节点和单元的关联程度决定该节点被消去时所需投放单元的个数,因而可将一个节点所关联的单元数定义为它的阶。显然一个节点的阶仅取决于它在模型中所处的位置,而与它的具体编号无关。图1所示模型中各个节点的阶写在对应方括号内。