以理想玻色气体为工质的量子Ericsson制冷循环

    1　引言

    Ericsson制冷循环是一种重要的回热式制冷循环之一,它是由两个等温过程和两个等压或等磁场过程组成。当使用经典的理想气体为工质时,该循环具有理想回热,它的制冷系数等于卡诺制冷系数;当使用铁磁质为工质时,该循环不具有理想回热,它的制冷系数小于卡诺制冷系数[1-3]。

    但是当工作物质处在低温或超低温的条件下,就必须考虑量子效应,因而它的制冷系数的表达式也将不同于经典的表达式。这将涉及到量子热力学循环问题。近年来,一些文献对量子热力学循环作了有益的研究[4-9],其工作物质涉及到自旋1/2系统、谐振子系统、费米子和玻色子系统、势阱中的微观粒子系统等。

    本文对以理想玻色气体4He为工作物质的量子Ericsson制冷循环进行了研究。基于理想玻色气体的状态方程,我们发现该制冷循环不具有理想回热,并推导出制冷系数的普遍表达式。在很高温度条件下,其结果回到经典的卡诺制冷系数;在低温条件下得到了制冷系数的具体表达式,这将对低温气体制冷机的研究提供理论依据。

    2　理想玻色气体的状态方程

    根据量子统计物理[10],理想玻色气体的压强和粒子数密度分别为

　　其中K为平均热波长,k是玻尔兹曼常数,T为气体的温度,N为粒子总数,N0为基态粒子数,V为气体体积,gn(z)称为玻色积分。其平均热波长和玻色积分的定义分别为

   其中z= exp(µ/kT)称为逸度,#(x)称为伽玛函数,h为普朗克常数,m为玻色子的质量,µ为气体的化学势。

    由方程(1)和(2),我们可以得到玻色气体的状态方程

P=nkTCF(z) (3)

　　其中n为粒子数密度。

　　称为修正因子,Tc为玻色-爱因斯坦凝聚温度,其值与压强的关系为

　　这里F(x)为Riemann-Zeta函数。

    理想玻色气体的内能和热容为[9]

　　利用热力学关系

    和方程(3)-(4),我们可以得到定压热容

    3　量子等温过程和量子等压过程中的热量和熵

    根据热力学第一定律:dQ=TdS=dU+PdV(11)

    和方程(3)、(7)、(10),我们能够推导出等温过程和等压过程的热量,它们分别为

　　其中下标i和f分别代表初始和终止状态。

    同理,我们可推导出等温过程和等压过程的熵,它们分别为

　　利用方程(12)和(13),我们可以分析量子Ericsson制冷循环中的热量。

    4　量子Ericsson制冷循环

    当工作物质为玻色气体时,Ericsson制冷循环由两个等温过程和两个等压过程组成,如图1为它的温熵示意图,其中Q12和Q34分别为两个等温过程的热量,Q23和Q41分别为两个等压过程(回热过程)的热量,TH和TL分别为高低热源的温度,PH和PL分别为高低压强。