评定直线度误差的最小二乘法与最小包容区域法精度之比较

    1 引 言

    GB/T 11336-2004规定:直线度误差是被测实际直线对其理想直线的变动量,理想直线的位置应符合最小条件[1]。根据要求不同,直线度误差分为给定方向上的直线度误差、给定平面内的直线度误差和任意方向上的直线度误差三种。后两种直线度误差在机械产品中常用,如机床导轨的直线度(多用给定平面内的直线度)、回转体轴心线或孔心线(多用任意方向上的直线度)等。由直线度误差的定义可知,直线度误差评定的关键在于如何根据被测实际直线的提取直线获得满足最小条件的理想直线。目前,直线度误差的评定方法有:最小包容区域法、最小二乘法和两端点连线法。其中,两端点连线法作图直观,主要适用于给定平面内的直线度误差的评定,但由于采用两端点连线法获得的理想直线并不能满足最小条件,故其评定误差大,在精密测量特别是仲裁检验中不能采用。最小二乘法是根据残余误差平方和为最小的原理建立理想直线,由于其理论成熟,算法简便,在包括直线度误差在内的形位误差评定中得到广泛的应用。一般认为,采用最小二乘法获得的理想直线也不能满足最小条件,其评定结果与被测直线的真实直线度误差存在一定差异。这一差异实际上就是由评定方法引起的直线度误差与测量结果的系统误差。当被测直线的直线度误差测量精度较高时,用最小二乘法评定直线度误差的评定结果的准确度将受到影响。为此,研究人员研究了多种直线度误差评定方法,如基于遗传算法的直线度误差评定方法[2]、基于计算机图形技术的直线度误差评定方法[3]、基于搜索逼近-逐次逼近旋转法的直线度误差评定方法等[4-9],目的在于建立满足最小条件的理想包容区域,从而获得能真实地反映被测直线的直线度误差大小的评定结果。本文以给定平面内的直线度误差评定为例,详细介绍直线度误差的最小包容区域法的评定原理,并将其与最小二乘评定方法的评定精度做了比较。

    2 直线度误差的最小二乘评定方法

    (xi,yi),i=1,2,,,n为给定平面内被测实际直线上的采样点坐标值。设由采样点坐标值建立的最小二乘理想直线方程为:

y=kx+b , (1)

    其中k、b为待定参数。令残余误差为:

Ei=yi-(kxi+b),i=1,2,,,n , (2)

    最小二乘法的目标函数为:约束条件是:J(k,b)→min。要满足约束条件,必须有:

    将式(3)简化并求得最小二乘直线的待定参数k和b为:

    根据最小二乘评定方法得被测直线的直线度误差为: