精确求解给定平面内直线度误差

    0　引言

    直线度误差是指被测实际直线的最小包容区域的大小。对于平面内被测实际直线而言 , 其最小包容区域是指包容被测实际直线的距离为最近的两条平行直线间的区域，两平行直线间的距离即为该被测实际直线的直线度误差[1]。按最小区域法评定平面内直线度误差时，关键是如何找到包容被测线且距离为最小的两条平行线。

    1　理论依据

    设：误差曲线 g（x）连续可导。上下两包容平行线与 g（x）的上下两个动切点分别为（x1，g（x1））和（x2，g（x2））；两平行线与x轴的夹角为，如图 1 所示。

    1.1　若以两平行线间的纵向距离 f 作为评定直线度误差

f = g（x1）- g（x2）-（x1- x2）tan θ　　　（1）

    相切旋转减小法：两包容平行线始终保持与误差曲线相切，并朝某一方向旋转，使得 f 逐渐减小，直至最小。

    由（1）式可得

    由于两平行线在旋转过程中始终保持与 g（x）相切。

    故（2）式可以简化为

    由（3）式可以看出：当 x1> x2时，增大 θ，则 f减小；当 x1< x2时，减小 θ，则 f 减小。

    也就是说，当上切点位于下切点右侧（或左侧）时，将两包容平行线逆时针（或顺时针）旋转，f 值则逐渐减小。当上（或下）平行线与误差曲线 g（x）出现第二个新的上（或下）切点 P（如图 2 所示），若 P 也位于下（或上）切点右侧（或左侧），那么，上（或下）平行线则以新的切点 P 为旋转起始点，与下（或上）平行线继续朝同一方向旋转。直至新的上（或下）切点位于下（或上）切点的另一侧，如图 3 所示。此时，上下三个切点满足相间准则，f为最小，且是唯一的[2]。

    尽管很难用解析法精确求解 f 的最小值，但可以使用上述方法寻找出使 f 值减小的方向。通过作图的方法，则很容易作出两条最小包容平行线。

    1.2　若以两条包容平行线的法向距离 t 作为评定直线度误差

    由于 t = f cos θ

    则可以很容易得到

    从（4）式得知：对于任一曲线 g（x），当 f 为最小时，t 不一定为最小。但对于实际误差曲线，一般有 ，此种情况下的 f 和 t 同时为最小。

    2　实测误差曲线的直线度误差的求解

    当对某一工作面进行测量，得到 N 个测量点（xi，yi）（i=1, 2, … N），然后用分段线性插值的方法，得到插值数 I（x），用其代替真实误差曲线 g（x）。