平面度误差目标函数凸凹性的研究

    1 引言

    用计算机求最小区域评定法平面度误差时,常采用最优化算法,通过迭代逐步逼近平面度误差目标函数的极小值。最优化算法收敛的前提条件是所要搜索的目标函数在其定义域上只有一个极小值。若目标函数在其定义域中有多个极小值,则最优化算法搜索到的结果可能不是全局极小值,这将直接影响数学模型和算法的可靠性及实用价值。这一问题已引起国内外学者的关注且已有一些研究成果发表[1~3],但要从理论上圆满地解决这一问题还有待更为深入的研究工作。

    本文应用凸集和凸函数理论严格地证明了平面度误差最小区域评定法的目标函数是二维欧氏空间R2中连续、不可微的(非严格)凸函数,因而它的全局极小值是唯一的。文中还给出了实例。

    2 数学模型

    如图1所示,建立仪器坐标系OXYZ,对被测实际表面做离散采样,设各采样点为Pi(xi,yi,zi),i =1,2,,,n。其中(xi,yi)为Pi在XOY坐标平面(测量基准平面)上的投影点,zi系沿Z轴方向测得的偏差值。

    设任一参考平面P的方程为

z = ax+ by+ c (1)

    各采样点沿Z轴方向对平面P的偏差为

Ei= zi- axi- byi- c (2)

    被测实际表面上各采样点对平面P的最大与最小偏差之差为

    当a,b改变时,F也随之改变,故F是a,b的函数,记作F(a,b)。根据最小条件,平面P的位置应使F达到最小值,于是可得下列无约束最优化问题

    最优化问题(3)的极小点[a*,b*]T的两个分量分别是符合最小条件的参考平面的法线向量在X,Y坐标轴上的投影,其极小值F(a*,b*)为最小区域评定法平面度误差。

    3 目标函数的性质

    若令fi(a,b) = zi-axi-bxi,i =1,2,,,n,并令I = {1,2,,,n},则有

F(a,b) =maxfi(a,b)-minfi(a,b) (4)

    可以证明,函数F(a,b)是按片光滑函数,因而在R2中某些点处不可微[4]。以下着重阐述F(a,b)的凸凹性。

    下述定理是研究形位误差目标函数凸凹性的理论基础[5]。

    定理1 设{fi(x)},iII,表示有限个或无限个定义在n维欧氏空间Rn上的凸函数的总体。对每个xIRn,定义这个总体的点式上确界如下

    则f(x)是一个Rn上的凸函数。

    定理2 设{fi(x)},iII,表示有限个或无限个定义在Rn上的凹函数的总体。对每个xIRn,定义这个总体的点式下确界如下

    则f(x)是一个Rn上的凹函数。

    关于目标函数F(a,b)的凸凹性有下述结论。