用振动测量数据最优修正质量矩阵

    0 引 言

    在实际工程中,利用有限元模型(FEM)得到的理论分析结果与实际结构的实测结果往往存在偏差,这种偏差主要是由有限元模型误差以及实验测量误差引起的,并且很难通过改进计算方法而消除[1]。近二十年来,随着建模技术和动力测试技术的日益成熟,结构动力模型修正受到了科技工作者和工程师们的广泛关注[2, 3]。修正的结构动力模型能够更加精确地预测结构的动力响应,还可以结合实测结果对结构进行损伤检测和剩余寿命评估[4-7]。

    结构动力模型修正即为利用结构现场实测的振动信息修正结构有限元模型,使得修正后结构分析的模态参数与试验值趋于一致。文[8]研究了刚度矩阵的修正问题,本文考虑质量矩阵的修正问题。需要说明的是,模态试验时,测量点数一般远少于有限元模型的结点数,从而导致测试模态不完整。对于这种测试模态不完整的情况,首先要进行模态扩展或缩聚,这类问题的处理已有许多成熟方法,在此不予讨论,本文假定模态测试点布置在有限元模型的结点上。设由试验或计算得到如下结果:

    5m—测量的模态矩阵并且满足rank(5m)=m;

    M—有限元产生的质量矩阵;

    K—有限元产生的刚度矩阵;

    m—测量的特征值与特征向量数目;

    n—有限元模型的自由度数目;

    +—由测量的特征值组成的对角矩阵且+E0;并假定刚度矩阵K具有很高的可信度[9],且K对称非负定,即KE0。

    注意到测量的矩阵5m及+不一定正好满足运动方程,因此,考虑如下问题:

    问题Ⅰ 求矩阵ME0使得

    问题Ⅱ(修正质量矩阵).求矩阵M^IS使得

    其中S是问题Ⅰ的解集合。

    就模型修正的矩阵型方法而言,其中典型的工作是Baruch[10-12]、Wei和Berman[13-15]等人提出的误差矩阵范数极小化的方法。不同于文[12, 15]采用的Lagrange乘子法,本文运用代数特征值反问题的理论和方法,得出了Frobenius范数意义下的质量矩阵的最优修正矩阵。

    本文用Rn@m表示所有n@m实矩阵的集合,ORn@m表示n@n正交矩阵的全体。SRn@n0表示所有n@n实对称非负定矩阵的集合。AE0表示A是实对称非负定矩阵,Im表示m阶单位矩阵,+#+F表示矩阵的Fro-benius范数,A+表示矩阵A的Moore-Penrose广义逆。

    1 问题Ⅰ的解

    设5m的QR分解为

    其中Q=[Q1 Q2]IORn@n, RIRm@m且R非奇异。则

    由5TmM5m=Im可得

    由最小二乘原理可得

    其中L为任意矩阵。

    由于,其中

    将(8), (9)代入(3)则可得出如下结论。

    定理1 设5m的QR分解由式(1)给出,QTKQ的分块由式(5)给出,R11为矩阵R-1的前s=m-rank(+)行,则问题Ⅰ的解为