一种提高相角计算精度的方法

    用FFT方法进行谱分析时,经常由于非整周期采样产生泄漏误差,使得幅值、频率和相角偏移真实值,尤其是在相角测量中误差值更大。国内外提出了3种频谱分析的校正方法。¹“FFT细化分析”[1],实质用FFT作全景谱,再针对要细化的部分用DFT进行分析,得到精确的频谱。该方法适应性强、精度高,但是计算量大。º“频谱重心校正法”[2],对矩形窗谱函数主瓣中心的相邻两点按重心法则,求出校正频率(即重心)。该方法应用广泛、精度高、算法简单、速度快,但不同的窗谱函数需要推导出不同的校正公式。»“离散谱值多点卷积法”[3],利用信号处理中的帕斯卡原理(即信号时域的总能量等于其频域的总能量)推导出通用的多点卷积公式,三点卷积是其中的特例。该方法特别适用于转速波动的旋转机械的振动信号分析。

    本文提出基于相角差计算的相角校正的方法。在用FFT测量周期信号的相角差时,发现对同频信号以相同的采样点和采样频率作非整周期采样,其泄漏误差基本相同,当作FFT后再求相位差时,误差可基本抵消[4,5]。所以,通过构造与测量信号同频率的信号,在作FFT后求出相角,再与原测量信号谱分析得到的相角求差,即可得到较为准确的相角值。

    1　基本原理

    设一个具有各次谐波的周期信号用如下形式表示

    式中　f0、fmax——分别为基频频率及信号最高频率

    Ai、Ui——分别为第i次谐波幅值及相角

    p——最高谐波次数(p小于采样点数的一半)

    设采样频率满足采样定理,即采样频率fs满足条件

fs> 2fmax(2)

　　由于泄漏误差,信号基频表示为

    式中,k为整数,d为小数(定义d为泄漏误差系数),由于泄漏误差不超过二分之一频率分辨率,所以ûdû≤0.5。当d= 0时,即为整周期采样情况。N为采样点数。

    信号的采样值表示为

    式中,Ts=1fs为采样时间间隔,n为整数(n= 0,1,2,…,N)。

    对式(4)作付氏变换,得到

　　这里仅以第i次谐波为例分析,并假设相邻谐波谱线有一定间隔,只考虑第i次谐波在对应的谱线上作谱分析时的值,忽略其它次谐波的影响。频谱表达式为

    由于FFT变换的对称性,只计算正频率部分,式(6)变为

    求得幅值和相角分别为

    可见,求出的相角有误差。为了对相角校正,必须知道di,但式(10)含有两个未知数,无法求出来。所以,还要再构造一个方程。先将原周期数据序列分段,然后将后一段置为0,得到新的周期数据序列x0(n) ,其表达式为

    式(11)中M为偶数,N为2的幂次方。对x0(n)作付氏变换,仅计算正频率,得到相角公式为