复杂结构的声辐射解耦及其声辐射效率分析

    工程中结构声辐射的控制机理一直是众多学者研究的问题,由于结构模态与声辐射效率之间的耦合,使得结构声辐射的控制和计算十分困难,对于工程中常出现的复杂物体的振动致声问题,采用解析方法求解结构的声辐射几乎是不可能的[1～3]。声辐射效率是描述结构声辐射能力的重要参数,目前对结构的声辐射效率主要是采用经验公式来估计,因此研究结构声辐射的解耦与效率对于控制结构的声辐射有着重要的意义。

    对于简单的板与梁类结构,上世纪90年代初期,Photiadis, Cunefare等利用声辐射模态的思想求解了薄板与梁结构的声辐射模态与效率[4～9];郭骅与姜哲则应用振动表面点辐射阻抗的概念[1],推导了振动物体辐射效率Rrad的计算公式;黎胜与赵德有利用有限元与边界元方法研究了板结构与加筋板结构的声辐射特性[2]。但对于复杂结构声辐射的解耦与效率的求解与计算,仍少有研究。

    边界元方法是求解复杂结构声辐射的有效方法[10～16]。本文将边界元方法与广义特征值的理论结合起来研究了复杂结构的声辐射模态与声辐射效率。首先利用边界元方法求出结构表面节点的声压,然后运用结构声辐射理论与等参单元插值,求出了结构的阻抗矩阵M与结构均方速度的耦合矩阵Mst,通过广义特征值理论对M和Mst同时对角化,实现结构声辐射的解耦,得出了结构的声辐射模态和声辐射效率。

    1　复杂结构的声辐射效率

    1.1　结构声辐射的边界积分方程

　　简谐振动的Helmholtz边界积分方程及其Sommerfeld辐射条件为

    式中　G为基本解,r,r=Q-P,P为边界上任一点,xp表示P点的坐标。n为边界的外法向单位矢量,k=X/c称为波数,X为角频率,c为波速,i=-1;Q为空气介质的密度,

　　此即Helmholtz方程的边界积分方程,式中G0=1/r,V表示求解的外声场,S表示结构振动体的边界,式中n为结构的外法向矢量,对于外部问题,其方向指向求解域,C(P)的表达式适用于任意角点的情形[2～3]。该方程中只包括边界量p与v,若已知结构表面的法向振速,即可求出结构表面的声压。若将结构离散为Ne个单元,N个节点,采用四节点等参单元插值

    式中　Nl为等参单元的插值形函数,pl与vl分别为节点的声压值与法向振速值。

    将式(4)和式(5)代入式(1)进行离散,有

DHP=BHV(6)

    式中　DH与BH的维数都为N×N。

    1.2　解的非唯一性问题与CHIEF方法

    声辐射问题一般采用Helmohltz方程在边界条件下形成的定解方程来描述,其解具有唯一性,但是一旦采用Helmohltz边界积分方程对上述定解方程进行求解,在某些波数处就会出现非唯一性的现象[10],产生非唯一性的原因是由于在这些波数处,解的边界积分表示与原问题之间不存在对等性。围绕着解的非唯一性问题,提出了两种最具有代表性的方法,一种是Schenck提出的CHIEF方法(CombinedHelmohltz Integral Equation Formulation)[10],该方法是通过在域外(对于外部声辐射问题,实际上是指边界所包围的内部有界区域)选取若干个CHIEF点,在这些内点处建立内部的Helmohltz边界积分方程与原方程进行联立,形成超定方程,然后求其最小二乘解,但Schenck同时也指出,选取的CHIEF点不能与封闭结构表面为界的相应的内部Dirichlet问题的振型节点重合,否则CHIEF方法失效。因此,如何选取CHIEF点,一直是众多学者研究的问题。Sybert A F与Rengarajan T K的研究结果说明[11],只要不是在十分高的频率上,CHIEF点的选取是不困难的;CHEN I L等从理论上证明了在特征频率处[12],由于系统矩阵的降阶,从而使边界积分方程的解具有非唯一性,要保证选取的CHIEF点有效,必须使CHIEF点所增加的超定方程使系统矩阵满秩。由于CHIEF方法只需要处理Cauchy奇异积分,不需要处理超奇异积分问题,其计算量增加不大Burton与Miller提出的Burton-Miller法[13],该方法是将Helmohltz边界积分方程进行法向求导后,通过耦合参数与原边界积分方程联立求解,该方法在理论上比CHIEF方法严格,但是将Helmohltz边界积分方程法向求导后,需要处理超奇异积分(O(1/r3)),超奇异积分的计算即使对于常单元也是十分繁杂的。在本文中采用CHIEF方法克服解的非唯一性问题。