阶梯圆盘复杂设计程序中参数初值的确定

　　由于传统的气介式大功率超声换能器存在严重的阻抗失配问题，使得功率超声在空气中的应用一直受到限制. 为了解决这一问题，西班牙学者Gallego在20世纪六七十年代首先提出了一种纵弯振动换能器，它由薄圆盘形辐射体、阶梯形变幅杆和压电夹心式换能器组成，该振动系统结合了纵振换能器的高电声转换效率、大功率以及弯曲振动辐射板的低辐射阻抗和大辐射面积等特点，在大功率超声领域获得了广泛的应用. 但是，圆盘辐射体解决了阻抗失配问题的同时，因弯曲振动存在反相区，声场会产生相消干涉，辐射效率将降低. 为了避免相消干涉，将圆盘表面改成阶梯形式，阶梯高度等于辐射介质中声波的1/2波长.

　　目前，已有不少学者对阶梯圆盘的理论进行了深入的研究[1 -9]，其中文献[1]以单节线阶梯圆盘为例，推导了自由边界条件下的振动频率方程，在此基础上提出了一种针对阶梯圆盘频率方程中变量多、方程系数复杂、方程难解的数值计算方法. 实际应用中为了获得大功率，常常需要应用多节线、大面积的阶梯圆盘辐射体. 由于阶梯圆盘的频率方程中含有特殊函数，且方程数目多，利用数值计算方法进行编程求解，很是耗时费力. 本文将针对这一问题，提出一种快速确定阶梯圆盘复杂设计程序中的参数初值的方法，以利于能快捷解算多节线阶梯圆盘的频率方程，方便了设计.

　　1 弯振圆盘的设计方法

　　1.1 平圆盘的设计

　　根据线性弹性理论和薄板的小绕度弯曲理论，忽略薄盘中的剪切力和扭转惯量，平圆盘小振幅轴对称弯曲振动的位移方程为:

 （1）

　　其中k为波数为角频率，σ为泊松比，ρ为材料密度，E为弹性模量，D=Eh3/12(1-σ²)为弯曲刚度.

　　自由边界条件下，圆盘边界处的剪切力和弯矩为0，即:

　　其中

　　将以上方程联立求解得到弯振平圆盘的频率方程为:

　　从(6)式中可以求解出其一阶振动模式υ1a的值，然后代入(7)式即可求得圆盘的半径.

　　1.2 阶梯圆盘的设计

　　图1为一个单节线中凸阶梯圆盘，a，r1分别是阶梯盘的基底半径和节线半径，h2为阶梯盘的基底厚度，为阶梯圆盘的厚度.

　　单节线阶梯圆盘的位移振动方程为:

　　其中k1，k2为中凸部分和基底部分的波数. 单节线阶梯圆盘应该在节线处(r=r1)满足位移连续、位移的斜率连续、剪切力连续、弯矩连续4个连续条件. 另外，还应满足在边界(r=a)处剪切力和弯矩为0. 将方程(8)、(9)代入连续条件及边界条件中就得到了单节线阶梯圆盘的频率方程.