波在薄圆盘粘弹性波导吸振器中传播及耗能研究

　　1 引言

　　粘弹性波导吸振器依靠粘弹材料的高阻尼和动力吸振原理,使振动引起的机械波在传导过程中消耗振动能量,达到减振的目的。目前对此类吸振器的研究主要集中在梁类[1~3],对盘类粘弹性波导吸振器的研究报告尚不多见,Hettema[5]应用Mindlin板理论对基于中厚板的圆盘粘弹性波导吸振器的阻抗进行了研究。本文基于经典薄板理论对圆盘粘弹性波导吸振器进行了研究,对波在其中的传播机理和振动能量在盘中的耗损量作了初步探索。

　　2 薄圆盘粘弹性波导吸振器动力方程及其求解

　　本文所研究的薄圆盘粘弹性波导吸振器模型如图1所示。I为粘弹材料制作的圆盘波导吸振器,直径为2a,厚度为h。II为导出杆,直径为2b,长度为l。

　　导出杆把振动体的振动传导到圆盘上,即圆盘在直径为2b的圆域内受到随时间变动的扰动,此扰动借助于质点间的相互作用力逐渐传播而形成波(导出杆部分将另作讨论)。如果圆盘直径无限大,波在圆盘中传播时不存在反射;而粘弹性材料的高阻尼特性使波在传播过程中不断衰减,可以推论,经过一定距离后波幅衰减为零。因而实际上并不需要无限大圆盘。如果圆盘的直径2a比导出杆直径2b大很多,就可把导出杆对圆盘的作用近似看作法向点载荷,因此在圆盘中产生轴对称波[4]。

　　建立柱坐标系(r,θz),用ur、uH、w表示质点径向、切向和z向的位移分量。在柱面波中uH=0,各量与θ无关,并根据经典薄板理论的假定,质点的径向和z向的位移分量具有如下形式

式中A0、B0为由边界条件确定的常数,J0(x)、I0(x)分别为0阶第一类Bessel函数和0阶第一类修正Bessel函数。故可得ur、w的表达式为

　　3 圆盘中振动波的频率方程及波速

　　引入边界条件

　　Mr、Qr分别为弯矩和剪力,即得待定常数A0、B0所应满足的齐次线性方程。为得非零解,其系数行列式应为零,即

　　从式(7)、(8)可以看出波速与材料特性、几何特性及频率有关,因此是频散的。由于A为复数,因此波速亦为一复数,它的虚部的存在表明此波是衰减的。

　　4 圆盘中振动波的能量损耗计算

　　由圆柱坐标中应变与位移关系得圆盘中的应变为

　　其中E*(iX)为复模量分别为其实部和虚部。可见应力由两部分组成,分别为弹性项和粘滞项ω能量耗损即是由粘滞项造成的。

　　任意单位板元在一个周期内耗损的能量为

　　5 结论

　　从上述讨论可知,柱面波在薄圆盘粘弹性波导吸振器中传播时伴随着能量损耗,且能量损耗与圆盘的几何参数、材料参数及波的频率有关。图2~图7分别为用计算机仿真的能耗和能量耗散率(即损耗能量与振动能量之比)随各参数变化的情况,其中圆盘为由ZN22型粘弹性材料制作(密度ρ=1.27x10³kg/m³,泊松比v=0.5,假定导出杆直径为1cm,对圆盘的挠动幅值为10um)。从图中可知