直线垂直度误差的一种评定方法

　　测定平面内直线对直线的垂直度误差,常采用自准直仪或框式水平仪对基准实际线和被测实际线进行分段测量,然后用图解法处理测量数据,先确定基准直线的方位,再求被测实际线对基准直线的垂直度误差。本文探讨一种根据基准直线数学模型来评定被测实际线垂直度误差的方法。

　　1 用最小二乘法建立基准直线模型

　　基准实际线并不是一条直线。为了评定被测实际线对基准实际线的垂直度误差,要根据最小条件由基准实际线确定一条基准直线模型。最小二乘法是线性实验确定直线模型近似程度较高的一种方法,符合最小条件原则。

　　如图1所示,先建立坐标系XOY,分别对基准实际线和被测实际线做等间隔测量。设基准实际线上各测点为DXI(XI, YI)(I=1,2,,,,m),其中YI是基准实际线上测点Y方向的测量值。设基准直线的方程为:

　　由此可得出基准实际线各测点DXI到基准直线的偏距为:

　　根据最小条件原则,由最小二乘法应使偏距平方和最小:

　　为此,分别令函数M对a、b偏导数为零:

　　至此,可以用上面(3)方程解出a、b的表达式,但比较麻烦。为了简化计算,将坐标原点O放在横坐标各测点DXI的对称中点(见图1),则有:

　　以上就是计算基准直线的公式。

　　2 求被测实际线对基准直线的垂直度误差

　　根据定义,包容被测实际线,垂直于基准直线,且距离为最小两平行直线间的距离即为被测实际线的垂直度误差。

　　见图2,将被测实际线上各测点向基准直线投影。

　　被测实际线上各测点DYJ(XJ, YJ)(J=1,2,,,,n),其中XJ是各测点沿X轴的测量值。过DYJ点对基准直线的投影直线方程为:

　　设DYJ在基准直线上的投影为D'YJ(X'J, Y'J),则联立方程(1)和(5)可得:

　　由此可求得各投影点Dc'YJ(X'J, Y'J)沿X轴向的最大距离为:

　　式中,X'Jmax和X'Jmin分别为XcJ(1≤J≤n)中最大与最小值。设基准直线对X轴的倾角为θ,则tgθ=a,这样垂直度误差可表示为:

　　3 计算实例

　　见图2,图中误差折线是用自准直仪测量一根1000mm长导轨的误差折线,以第1点为起点,共测量5个点,间隔为200mm,从第1点始,各点的累积读数分别为:0、16μm、26μm、18μm、15μm、6μm。将坐标原点放在各测点的对称点O,这样根据式(4)有:

　　这样基准直线的方程为:

　　再测被测实际线对基准直线投影δ在X轴向的值Δ(可用百分表等仪器测量)为23μm,这样根据式(8)可得被测实际线的垂直度误差: