圆度、圆柱度和同轴度计算机测量数据最小区域法处理算法研究

　　1　圆度最小区域法的数学模型及算法原理

　　圆度误差的测量是由位于精密旋转主轴上的零件与径向安装的位移传感器产生的径向变动得到的。要求实测要素对其理想要素的最大变动为最小(最小条件)。实测的跳动实际上是由减去一名义半径后得到的,还存在“半径抑制”作用的误差、零件的安装偏心误差、主轴本身的旋转误差等。故实测误差

　　式中,RL为零件误差;RZ为主轴误差;RB为半径抑制误差;RP为零件安装偏心误差。

　　RZ、RB属于系统误差,无法避免,其影响小,本文不作讨论[1]。零件安装的偏心距与实测零件的半径之比要小于10^-3[2]。评定RL可以采用4种方法,即最小区域法(MZC)、最小二乘法(LSC)、最小外切圆法(MCC)和最大内接圆法(MIC)。

　　其中最小区域法是评定形状误差的基本原则,在用最小区域法评定圆度误差(最小区域圆法)时,其数值是唯一的,且在前述4种评定方法中数值最小。从其概念出发,就是要找到两个同心圆来包容所测的零件表面,包容时要符合圆度误差判定。即同心圆与实测的表面线至少要有4个接触点,且要交叉出现。这个同心圆是客观存在的,但是要计算机在较短的时间内找出该圆,并用最小区域圆法计算出圆度误差则是本文要解决的问题。

　　最小二乘圆法是可以解析计算的,且是唯一的,开始就以最小二乘圆法的圆心为起点,沿最大半径方向移动圆心,每移动一次就重新计算一次新的半径并找出新的最大最小值,重新计算极差并与上次的极差比较。如果比上次的小,证明移动圆心是成功的,且结果是收敛的,如果比原来的大,可以先将移动的步长减小,看是否由于步长过大而跳过峰值,如果还是发散,则记下此点,再按最小半径的反方向移动圆心,以增大最小半径的值,重新计算新的半径并找出新的最大最小值,依此循环下去。退出循环的条件如下:¹判断其误差小于允许值;º判断是否存在两个最大和两个最小的值,并且其编号要交替出现。其结果用数学语言描述就是“极大值最小化问题”,即最大变动量最小,由于此类问题是多峰值问题,因此在移动完圆心后要重新计算新的最大最小值,并按新的最大最小值来重新移动圆心。参考“贪心法算法”的思路按照本方法来移动,可以证明结果肯定是收敛的,并且是收敛最快的。证明如下:图中,∠AOB>90°,O为最小二乘圆心;AO为最大半径;BO为最小半径;O′为沿OA方向移动的圆心;O″为沿BO方向移动的圆心,原极差ΔR=AO-BO;新极差ΔR1=AO′-BO′,在△OBO′中,OO′>BO-BO′,而OO′=AO-AO′,即ΔR-ΔR1>0,所以结果收敛。