数码相机设计中图像几何畸变校正的实现

    为了真实再现拍摄者观察到的景像，图像几何畸变的校正一直以来都是数码相机开发中重要的研究题目。

    导致拍摄图像出现几何畸变最常见的原因是光学镜头的变形。要进行校正首先应给出描述畸变的数学模型。可以从光学成像原理及镜头物理特性的角度给出这一模型[4]，也可以从拍摄图像本身对畸变进行描述。对后者而言，通常通过在空域里寻找畸变前后像素的空间映射关系进行校正。近期则出现了在频域中进行几何校正的研究。

    本文采用在空域里确定畸变前后像素空间映射关系的方法进行几何校正。它包括两个独立的算法：空间变换和灰度级插值。空间变换描述输入输出图像中对应像素的映射关系，灰度级插值则确定输出像素的灰度值。通过检测控制点坐标进行 MSE 拟合的方法实现空间变换，灰度级插值则采用双线性插值的方法，整个过程采用向后映射法完成。为了使这一方法能够满足实际需要，要进一步考察了算法的运行时间。

    1 图像几何校正的算法

    假设未畸变图像的像素位置坐标为 ( x, y)，畸变图像中对应像素位置坐标为 ( x′ , y′)。则其空间映射关系可以采用下面的多项式来近似：

    其中 N 为多项式的阶数，ija 和ijb分别是多项式的系数。i 0,1,2,,NL= ； j = 0,1,2,,N−iL；i + j≤N。

    在一定程度上，多项式的阶数越高，校正效果就越好，但相应的运算量也会显著增加。另一方面，图像畸变得越严重，校正所需要的多项式阶数也会越高。

    1.1 MSE 拟合

    式（1）中的多项式系数可以通过 MSE 拟合的方法得到。MSE 拟合的基本思想是，对于一个集合 (,)iix y，寻找函数 f(x)使拟合的均方误差ε达到最小。对于式（1）中的 x 坐标，则

    应达到最小。其中 L 为控制点个数。式（2）的上式两边对ija求导并置等式值为零，下式两边对ijb求导并置等式值 0，可得方程

    s 0,1,2,,NL= ；t  = 0,1,2,,N−sL； s + t≤N。对于 N阶多项式，其系数个数为M = ( N+1)(N+2)2。即式（3）应有 M 个，从而可以组成两个线性方程组。将这两个方程组写成矩阵形式为

    其中 a、b、X 和 Y 为 M 维向量。K 为 M 阶方阵，其行标由s 和 t 的排列组成，记为 u；列标由 i 和 j 的排列组成，记为 v。则

    在图像中选择合适的控制点，将控制点的位置坐标代入上面的矩阵，可求解出所有的系数，从而得到空间映射的函?数关系。