杯形件反挤压变形力的滑移线场数值分析解

　　0 引言

　　滑移线理论能求解平面变形问题与轴对称问题变形力的数值解，但是该数值解以滑移线场参数表达。在实际工艺计算中，不能针对具体问题逐个绘制滑移 线场，限制了滑移线解的应用。工程设计中挤压力的求解多用经验公式，其公式的推导缺乏足够的理论依据，而且没有反映变形物理参数与模具几何参数的本质关系 [1]，为此国内外的学者基于多种理论进行了探索研究[2-4]。本文基于滑移线场理论，研究杯形件反挤压过程，以滑移线场参数为桥梁，应用数值分析方法 研究变形力等物理参数与模具几何参数的解析关系。

　　1 滑移线场模型的建立与求解

　　与塑性加工力学中的其它方法相比，滑移线法是数学上比较严谨、理论上比较完整、计算精度较高的一种方法[5-8]，目前在塑性力学研究中仍具生 命力[9-12]。本文为简化分析过程，在研究杯形件反挤压过程的数值分析模型时，忽略材料流动时的接触摩擦，将其视为理想状况[13]。根据模具型腔的 几何形状及其变形特征，令压缩比 ξ = R/L，即 ξ = R/( R - r) ( 其中 R 为挤压筒半径，r 为挤压杆半径，L为杯形件壁厚) 。将压缩比为 2 时的变形作为临界状态，杯形件反挤压过程有 3 种类型滑移线场，考虑工程实际，本文重点考察压缩比大于 2 时的情形，滑移线场如图 1 所示。Ⅰ区为有心扇形场，Ⅱ区为正交曲线场，Ⅲ区可近似看做均匀应力场，AD 线以上为不受力的自由表面。滑移线场内的每个节点以( m，n) 表示。其中 m 为 α 线的族序数，n 为 β 线的族序数。

　　根据滑移线场理论可方便求解上述三区的应力场[14-15]，并可推导求得单位面积接触正压力 σn( 即单位变形力) 为

式中，k 为塑性常数，θ 为滑移线场中心张角。

　　2 数值分析模型的建立及曲线拟合

　　遵循滑移线场精确作图法，取分度角 γ =3°时，压缩比大于 2 的杯形件反挤压过程可分解为 15 个不同压缩比的变形状态，并有与之对应的 15 个系列滑移线场，将上述滑移线场叠加即可得到杯形件反挤压过程代表滑移线场，见图 2，其中 O 点具有划分塑性变形区的重要物理意义。抛去作图误差等因素，系列滑移线场移动边界点 O 的连线是一条直线，而O 点的位置对于具体的滑移线场而言，是由滑移线参数来表征的( 张角 θ、滑移线的族序数 m、n等) ，对于具体的成形问题而言，又是由模具几何参数( 压缩比 ξ、模具几何形状 R、r、L 等) 来决定的。这充分说明，变形几何参数与滑移线场参数遵循一定的对应关系，这种对应关系通过数值分析方法[16-17]可得到确定的数学模型。