二维有限元超声波动方程的研究

　　0 引言

　　固体中超声的散射是声学的基本问题之一,同时是超声检测的核心问题。声学中讨论散射现象已有很长的历史,但长期以来只分析流体中声波的散射。超声在固体中的应用得到发展,首先体现在超声检测中。随着时间的推移,人们对超声检测提出了更高的要求。由于近场波动问题的复杂性,理论分析的方法一般只能研究比较简单的模型问题。现场测试的方法又受到诸多客观条件的限制,很难从实测数据中得到超声波传播过程的全貌。有限元分析方法(FEM)和有限差分法(FDM)对复杂的结构及介质情况的适应性较强,是数值模拟波动问题的一个有力工具。

　　本文首先介绍超声波在固体中的波动理论,然后在此基础上建立数学模型,并在PC上仿真超声波的传播过程,并给出了动态光弹技术拍摄的超声波传播过程照片,证明了超声波的传播中运用有限元和差分方法的可靠性。数值计算方法是用于模拟超声波在损伤介质中传播的有效的方法。数值分析法虽不属于信号处理的范畴,但它也是超声在固体介质中传播时进行分析处理的一种手段,是超声检测信号处理的有力补充[1]。

　　1 二维有限元超声波动方程的建立

　　1.1 弹性力学有限元方法的一般原理和表达方式

　　用有限元法分析运动物体的内力、变形及运动状态等,首先需将物体离散成若干个单元,导出单元体的运动方程式。这里用动态问题的哈密顿原理推导运动方程。哈密顿原理中所用的是拉格朗日泛函,定义为:

　　T表示为动能能量,U表示为应变能量,We表示外力势能。

　　经变分原理有:

　　同时在均匀、各向同性、线弹性体运动的控制方程组包括运动的动量应力方程、胡克定律和应变-位移关系式,如果将应变-位移关系带入胡克定律,再将应力表达式代入运动的动量应力方程,可以得到超声波在固体中运动的位移方程[2]。

　　式中:λ和L是拉梅系数,ui是质点的位移,ui,jj是位移j方向的二阶导数,uj,ji是uj方向的i,j导数;Q是介质的密度,fi是介质的体力,u..i是ui的对时间t的两阶导数(i,j =x,y)。

　　式(2)即为二维弹性介质中的波动方程。这就证明了泛函L与波动方程等价,泛函L的解就是波动方程的解。

　　1.2 几何模型讨论

　　二维有限元超声波方程的建立过程分为以下4个步骤进行。

　　(1)单元剖分

　　如图1所示,在仿真波传播的模型中,超声波探头在圆柱体表面的一侧垂直入射到表面。在两维平面问题中,上半个圆被分解为三角形构成,圆柱体被离散为三角单元构成由于对称性,整体的几何部分要被分解为元素构成。