拟椭圆槽孔层合板的孔边应力分布

　　引言

　　具有槽孔的层合板是工程结构中大量遇到的构件,由于槽孔的存在,不仅可能引起自由边横截面的严重翘曲,而且会产生高的局部应力,导致构件分层破 坏。因此,研究槽孔附近应力的正确分布,准确地分析自由边的高峰应力,对分析其破坏机理及确保构件安全,具有重要的实际意义。但是,由于自由边的影响,此 类问题存在以下内在的复杂性,各层力学性质的强烈的各向异性、通过板厚度方向材料的突然改变、沿板边界几何形状的不连续性、靠近层合材料边缘区域平面和纵 向变形与应力的耦合以及准确满足自由边无外力条件的困难,致使这类问题的研究进展缓慢。

　　近二十年来,许多学者应用各种不同的有限单元,如三角元[1]、等参位移元[2]、杂交应力层合元[3]、特殊杂交元[4-6]和基于摄动法的 渐进杂交应力元[7]等来研究自由边附近的应力分布。但大量的数值算例表明,这里存在两个关键问题。首先,靠近槽孔边缘很小的区域内,应力不仅呈现复杂的 三维状态,而且应力梯度变化迅速,用一般位移元或杂交应力元分析此类问题收敛极慢,即使使用以高阶多项式作为插值函数的高精度元,也对改善收敛性效果不大 [8]。除非应用极细的网格,否则难以得到正确的结果。其次,是否严格满足槽孔自由边的无外力边界条件,是得到正确应力分布的关键所在,而相当多类的有限 元不准确满足此组边界条件。

　　本文基于修正的余能原理,建立两类三维杂交应力层合元)))一种具有一个无外力圆柱表面元及一种具有一个无外力直表面元。应力场准确满足平衡方 程、层间应力连续条件及下表面无外力边界条件。这两类单元联合,在较粗的网格下,高效而精确地分析具有拟椭圆槽孔层合板的三维应力分布。

　　1 有限单元刚度矩阵

　　基于修正的余能原理,导出本文的杂交应力层合元,其中单元交界面上的应力连续条件用拉格朗日乘子法解除,能量泛函为

式中,n为单元编号,i为层编号,Ri为i层内应力,S为弹性矩阵,Vin为单元n第i层体积,Tⁱ为i层边界力,uⁱ为i层边界位移,5Vin为单元n第i层的边界,T为已知边界力,SRin为外力已知边界。

　　单元每层的应力用应力参数Bⁱ进行插值

其中,Pⁱ为插值函数矩阵。

　　每层的边界力Tⁱ

式中,v为方向余弦矩阵,Rⁱ=v^TPⁱ;Rⁱ为应力插值矩阵。

　　单元每层边界位移uⁱ用节点位移qⁱ插值,

这样将保持单元间位移的连续性;式中,Lⁱ为结点位移插值矩阵。