一种测试动态应力集中的灰色建模方法

　　1　引言

　　应力集中是工程构件破坏的重要原因之一,无论在机械、土木结构还是微电子器件中都存在应力集中问题,而应力集中问题的分析和计算是工程力学中一 个比较复杂和难度较大的问题,因此,科技人员十分重视应力集中问题的研究.对于动态应力集中问题,一般难以用理论方法求解,用有限元法计算难度亦大,因此 仍以实验研究为主.而常用的应变电测法由于某些限制,往往不能直接测得应力集中处的最大应力或应变,必须由附近几个点的测试值去推算.以往采用的拉格朗日 外推法误差较大[1],文[2]中的外推法所得结果的精度远优于拉氏外推法,是一个很大的改进,但是,笔者近期的研究发现,若将灰色系统理论引入静态应力 集中的研究,则能得到精度更高的结果[3].在此基础上,又尝试将灰色理论中GM(1,1)建模方法,用于动态应力集中的应变电测数据处理,同样能得到较 满意的结果.灰色系统理论80年代在国内兴起,是一门年轻的新兴学科[4],已在多个学科领域内成功应用,并取得令人满意的效果,且日趋成熟.将灰色系统 理论应用于力学研究在国内外尚为鲜见,文[3]为初步探讨.据文[4,5]知, GM(1,1)具有预测精度高、所需样本数据少、计算简单、可检验等优点.

　　2　灰色建模方法

　　灰色系统理论中GM(1,1)建模方法的基本思想是对已知的某一参数原始数据列进行数据处理,模糊识别,建立模型,然后利用模型可得到分析参数 的更多的状态值.为了提高预测模型及预测值的精度,对于给定的原始非负数据列{x(0)(t)t=1,2,…n},一般不能直接建模,因为由实验测得的数 据列随机性较大,需要对原始数据进行处理,使原始数据列的随机性弱化,规律性加强.由文[6]知,采用加权方法改造原数据列,然后对新生成的数据序列用 GM方法预测,最后再把预测数据列还原.该方法可以随时调整参数,进行人机对话,比原有的直接累加法的预测精度高.具体步骤如下:

　　(1)对原始数据列{x⁽⁰⁾(t)}按公式

  (1)

生成新序列{y⁽⁰⁾(t)},其中A为待定参数.

　　(2)对新序列{y⁽⁰⁾(t)}应用传统的GM法进行预测.通过累加生成

可得到累加数据列{y⁽¹⁾(t)t=1,2,3,…,n},式中上标(0)表示原始数据,(1)表示一次累加生成数据,其相应的GM(1,1)微分模型为:

式中系数a和u可用最小二乘法求解,有:

　　(4)在上述计算中,可以不断调整参数A,B的值来改变预测结果,使预测的结果更加符合客观情况.

　　为了更好地说明此方法的有效性,以文[7]中的算例进行计算与对比.例1:带圆孔拉伸板(图1).A,B,C为一组小型应变梯度片,见图 2.D=59.46mm,d=14.82mm.静载实测A,B,C三点的应变值为EA=77.4(LE下同),EB=94.6,EC=145.2.