复合型变幅杆的理论设计

　　发电设备是电力工业建设的关键设备，它对整个国民经济持续、健康、高速发展起着重要作用。随着“十二五”规划的出台，风能、太阳能、核能等新能源的利用已经成为国家重要发展战略，因此新能源的设备制造也显得更加重要。但是传统的加工对于新型设备的材料难以完成，例如发电设备中的陶瓷材料。随着特种加工的发展，超声波加工被广泛用于工程陶瓷、玻璃等硬脆材料的加工。超声波变幅杆是超声振动系统中一个重要的组成部分,

　　它在振动系统中主要起到放大与聚能的作用，因此也被称作超声波变速杆或超声波聚能器。变幅杆可分为纵向振动变幅杆、弯曲振动变幅杆、扭转振动变幅杆。其中纵向振动变幅杆应用最为普遍，可分为简单形、复合形。简单形又可分为指数形、圆锥形、悬链线形、阶梯形等类型，而复合形是由各种简单形变幅杆根据实际需要组合而成的。本文对复合型变幅杆理论设计进行了研究探讨[1]。

　　1 变截面杆纵向振动的波动方程

　　图1为变截面杆，其对称轴为坐标轴X，作用在微小体元(x，x+dx所限定的区间)上的张应力为，根据牛顿定律可以写出动力学方程：

　　式中，S=S(x)为杆的横截面积函数，ξ=ξ(x)为质点位移函数，σ=σ(x)=为应力函数，ρ为杆材料的密度，E为杨氏模量。

　　在简谐振动的情况下式(1)可以简化为：

　　式中：K为圆波数;k=为圆频率;C为纵波在变幅杆中的传播速度，。

　　式(2)就是变截面杆纵向振动的波动方程。可以根据边界条件来求解方程，可以求得引起共振的变幅杆的长度以及在这个长度下的振幅的变化。但是，这个公式只能用来设计截面函数按一定变化规律变化的变幅杆，如：指数形、悬链线形、阶梯形和圆锥形变幅杆。对于其它截面面积函数比较复杂的变幅杆，式(2)中的S对x的一阶导数不是常数，也就是不是一个常数，即式(2)一次项的系数不为常数，这个方程就不容易求解[2-4]。

　　本文所设计的变幅杆的截面均为圆截面，材料为45号钢，其纵波在细棒中的声速C=5.196mm/s。

　　2 圆柱圆锥的复合型变幅杆理论计算与设计

　　本文取D1=58mm，D2=20mm如图2所示，面积比。

　　下面我们来求复合型变幅杆的谐振长度。

　　(1)求圆柱型段的谐振长度。因为圆柱型杆的截面函数为常数，所以波动方程变为：

　　其解为：

　　可以得到频率方程：

　　所以谐振长度：

　　(2) 求圆锥型段的谐振长度。