输入输出测量噪声干扰下连续Hammerstein模型参数直接辨识

    ０　引言

    离散非线性系统的辨识理论与算法不断出现，主要有最小二乘法、极大似然法、扩展卡尔曼滤波法、正交基函数法、支持向量机法等［１］。连续非线性系统的辨识具有其特有的复杂性，尤其是缺乏一种通用的数学模型，其理论与方法均远未成熟，仍是学者们致力于研究的一个难题。

    连续系统辨识难以得到系统输入输出的各阶导数的样本，为此，学者们提出了各种间接和直接的辨识方法来估计连续系统模型参数［１－５］。调制函数法利用调制函数性质对微分方程中输入输出信号的微分进行调制积分处理，避免了对系统输入输出信号进行直接微分，同时也排除了初始条件的影响，避免了求连续系统各阶导数的样本［１，４－５］，在连续线性系统模型辨识中取得了良好的效果［４－５］。

    自Ｎａｒｅｎｄｒａ等［６］提出结构简单又能有效地描述动态系统非线性特性的Ｈａｍｍｅｒｓｔｅｉｎ模型以来，该模型一直引起学者们的极大关注。文献［６－８］用迭代法研究Ｈａｍｍｅｒｓｔｅｉｎ模型，文献［８］将Ｈａｍｍｅｒｓｔｅｉｎ模型用于实际的伺服系统并用迭代最小二乘算法获取模型参数，但是迭代法有时不收敛，无法获得模型参数。文献［９］利用非迭代法研究Ｈａｍｍｅｒｓｔｅｉｎ模型，但是计算量比较大。文献 ［１０－１３］用调 制函数法研究Ｈａｍｍｅｒ－ｓｔｅｉｎ模型，但没有考虑噪声处理问题。

    针对输入输出测量噪声问题，本文提出调制广义最小二乘算法来实现Ｈａｍｍｅｒｓｔｅｉｎ模型的参数无偏估计。首先对连续非线性Ｈａｍｍｅｒ－ｓｔｅｉｎ模型参数进行重组，得到包含模型线性部分与非线性部分参数乘积项的微分方程，再利用调制函数法转化为代数方程，用最小二乘法估计组合参数。因输入输出测量噪声的影响，最小二乘估计为有偏估计，为此，采用广义噪声模型来处理模型噪声，并由此提出调制广义最小二乘算法以得到代数方程参数向量的渐近无偏估计。最后利用奇异值分解（ＳＶＤ）方法对乘积项进行分解，获得了Ｈａｍｍｅｒｓｔｅｉｎ模型参数。

    １　连续Ｈａｍｍｅｒｓｔｅｉｎ模型重组参数最小二乘估计

　　图１所示为一个静态非线性系统与一个线性动力学系统串联组成的单输入单输出非线性连续时间Ｈａｍｍｅｒｓｔｅｉｎ模型。

    线性动力学部分的传递函数表示为

    式中，ｘ（ｓ）为系统输入信号；ｙ（ｓ）为系统输出信号；、ｎ分别为输入、输出的系统阶数；ｂｊ（ｊ＝０，１，…，ｎ）、ａｉ（＝０，１，…，ｍ）分别为系统输出、输入的参数。Ｈａｍｍｅｒｓｔｅｉｎ模型参数重组后有