圆锥形变幅杆的设计及有限元分析

　　1 引言

　　超声变幅杆是功率超声振动系统中的重要组成部件,它的作用是把换能器输出端微小的振动速度或位移进行放大,此外,超声变幅杆还可以作为机械阻抗变换器,使超声能量更有效地从换能器向负载传输。较常用的单一变幅杆按其外形主要分为:指数形、悬链线形、阶梯形和圆锥形四种。在功率超声应用中,变幅杆的振动方式有纵向振动、弯曲振动和扭转振动。对于纵向振动变幅杆的设计,通常是先用解析法推导出通用的变截面杆简谐振动动力学运动方程,然后代入满足该方程的截面函数,推算出变幅杆的各个性能参数。

　　本文以圆锥形变幅杆为例,根据理论公式用解析法设计一个半波长圆锥形变幅杆的实例,并用MATLAB计算相关的参数曲线图。然后用有限元软件ANSYS对该变幅杆进行自由模态分析,得出各阶固有频率、相应的振型,由此确定纵振时变幅杆实际共振频率。最后还利用有限元法对带工具的变幅杆进行修正设计,使变幅杆的某阶固有频率和系统工作频率相等,确保变幅杆在工作中能够可靠地纵向共振。

　　2 圆锥型变幅杆的理论计算

　　以圆锥型变幅杆的纵向为x轴,如图1所示,l为长度,S(x)为截面面积,F1、X1、F2、X2为作用于杆两端的力和位移振幅。取x处长为dx的微段为对象, U(x,t)为t时刻距离原点x处的截面纵向振动位移,N(x)为截面的内力。

　　则微段的应变为:

　　轴向内力N=SEε,其中,E为材料的杨氏模量。

　　由牛顿第二定理:

　　式中,ρ为材料的密度。

　　解得:

　　在谐振状态下可解得x处截面的振幅,即位移分布函数:

　　式中,A、B为待定参数;K为圆波数,K=2πf/C;f为工作频率;为纵波在细棒中的传播速度。

　　已知半波长圆锥型变幅杆的面积函数:

　　式中,S1为变幅杆大端截面面积;α=(N-1)/Nl;N为面积系数,N=D1/D2;D1,D2分别为变幅杆的大小直径。

　　代入式(2),由已知条件和边界条件容易求出以下方程式[2]。

　　位移分布函数为:

　　应变分布函数为:

　　频率方程:

　　式中,Kl为待求未知量。

　　谐振长度l:

　　放大系数M:

　　位移节点x0:

　　应变极大点方程:

　　式中,xm为待求的应变极大点。

　　形状因素φ:

　　现为一超声磨削系统设计一个半波长的圆锥形变幅杆,要求工作频率f=20kHz,材料选择为钛合金,其杨氏模量E =1.16x10¹¹Pa,密度ρ=4500kg/m³,根据系统结构要求,设定圆锥形变幅杆的大端直径D1=52mm,小端直径D2=16mm,得到N=D1/D2=3.25,代入公式(5)得到λl=3.5164,又由波速C=5.077x10⁶mm/s,得到λ=(2πf)/C=2.475x10^-2,由(6)式得变幅杆长度:l=142.08mm,所以α=(N-1)/Nl=4.87x10^-3,由公式(7)得放大系数M=2.79,由公式(8)得位移节点x0=55.62mm,由式(9)、(10)得形状因素φ=1.658。令变幅杆输入端振幅X1=5x10^-3mm,由式(3)和(4)可得图2所示的位移分布图和图3所示的应变分布图,它们清楚地表示了在谐振动时变幅杆内质点位移和应变沿轴向的分布情况。