弹塑性三维各向异性分形表面的接触分析

    １　文献［１］的１个缺陷

    传统的结合部方法采用弹簧－阻尼器［２－６］（ｓｐｒｉｎｇ－ｄａｍｐｅｒ）模型，该模型能模拟结合部两侧零件的相对运动，但该模型的一个缺点是理论预测结果与实验数据相差较大．

    为克服弹簧－阻尼器模型的缺陷，进一步提高理论预测精度，田红亮和李斌等［１］采用如图所示的固１维表面形貌首次提出机械结构固定结合部虚拟材料的动力学建模方法，将２种配对材料的微观接触凹凸部分看成一种虚拟的各向同性材料（认为无论沿任何方向，固体的力学性能都是相同的），首先，通过一些理论的方法得到该虚拟材料的弹性模量、Ｐｏｉｓ－ｓｏｎ比、厚度和密度；然后，将这些参数嵌入到有限元软件中，可将整个机械结构的动力学特性通过分形维数Ｄ（１＜Ｄ＜２）、分形粗糙度Ｇ程实际可操作性及是否有效，可将近似理论模态与实验模态进行比较，例如将两者的相似振型进行定性比较，将两者相应的固有频率、阻尼比进行定量比较，给出相对误差．因此该方法存在以下１个缺陷：虚拟的各向同性材料假设不能完全反映实际工程材料的特征，事实上，实际工程材料大多为各向异性（沿不同方向力学性能不同的材料）．

    本文分析三维各向异性分形表面特征，将分形维数推广到三维的一般情况（２＜Ｄ＜３），区分弹、塑性接触时单峰的实际接触面积（都用ａ表示）．

    ２　三维各向异性分形表面特征

    更起作用通用的单变量标量ＷＭ函数模拟加权、随机重叠的隆起部状表面．单变量标量ＷＭ函数［７］为

    一个三维分形表面在各平面方向显示随机性，其高度函数可用式（１）的实部表示

    式中，ρ和θ为平面极坐标；γ＞１为决定轮廓空间频率密度的参数；Ｍ为构造表面重叠隆起部的个数；Ａｍ为控制表面几何各向异性的量值；ｉ＝ 槡－１；ｋ为与采样长度Ｌ有关的波数；ｎ为频率指数；２＜Ｄ＜３为表面的分形维数；αｍ为在方位角的方向偏置隆起部的任意角度；Φｍ，ｎ为均匀分布的随机相位，且

    将式（３）～式（７）代入式（２），得

    式中，Ｇ为分形粗糙度；ｎｍａｘ为与６晶格距离截止长度Ｌｓ有关的频率指数上限，且

    式（８）的表面经验功率谱对应的等高线示意图如图２所示，其中ｋｘ、ｋｙ分别为沿ｘ、ｙ轴方向的空间频率，单位是ｍ可以看出，功率谱的等高线明显表明具有８重对称性，尽管下文的图３（ａ）、图３（ｂ）都无特定的方位角结构．