环状旋转周期结构模态摄动分析

    工程领域中广泛存在一类环状周期结构，该类结构被认为是在标准圆环上附加了周期结构而构成的旋转周期结构，如行星齿轮传动的内齿圈和电机的定、转子及水轮机的座环等．由于附加周期结构改变了原系统的轴对称性，系统的动力特性将发生明显的变化．因此对这类结构的振动研究具有理论和工程实用价值．

    结构对称性的改变引起模态特性变化的现象引起了学者和工程技术人员的广泛关注．文献[1-5]运用不同方法研究了不对称圆环的振动特性．其中Allaei 等[1]和 Detinko[2]分析了离散刚度支承下的圆环振动特性．Hwang 和 Fox 等[3-4]针对具有圆周方向轮廓变化的薄圆环，采用瑞利-里兹方法获得了频率和振型，分析了几何形状的变化导致的固有频率分裂现象．文献[5]利用拉普拉斯变换法研究了局部偏差对圆环振动模态的影响．

    当附加结构的质量和刚度相对较小时，摄动法是分析周期结构动力特性的有效方法．楼梦麟等[6-7]采用模态摄动方法给出了复杂梁结构模态特性的近似解析解．Parker 和 Mote[8-9]用摄动方法研究了盘振动的特征值．Kim 等[10]研究了周期分布结构对轴对称结构模态的影响，结果表明，由于结构中加入了周期结构而产生频率分裂现象，且振型由于附加谐波的调制而导致污染．Chang 和 Wickert[11-12]以盘状结构为例，给出了固有频率分裂规则和模态污染规律．上述文献主要以盘状结构为研究对象，而环状旋转周期结构的模态污染特性未涉及．

    由于产生固有频率分裂现象，结构的重频分裂为相近的 2 个单频，相应的模态相互耦合，可以导致共振区加宽和振幅加大[13]，因此在结构的设计和应用中应考虑固有频率分裂的影响．笔者以工程中应用广泛的环状旋转周期结构为研究对象，采用摄动方法研究了该类结构的模态变化规律．

    1 分析模型

    不失一般性，基于环状周期结构的几何特点，建立图 1 所示的分析模型．圆环的刚度和单位长度质量分别为 EI 和 m，圆环半径为 r，截面积为 A．u 和 v分别为角 θ 处的切向和径向位移．均匀分布在圆环内侧的周期子结构个数为 N(即周期数)，忽略几何形状的影响，将其简化为集中点，其刚度和质量分别为kt和 mt．

    2 基于摄动法的模态分析

    标准薄圆环面内自由振动方程[14]为

    考虑如下关系

    则由式(1)和式(2)可得圆环面内弯曲振动方程

    引入下列无量纲变化