基于二阶Krylov子空间投影法建立MEMS宏模型

　　0　引言

　　随着微细加工技术的不断发展和标准化,具有复杂结构和功能的MEMS系统被广泛制造出来。多数系统中包含着能够传递或转换能量的传感、执行器件,因此一般会涉及到多物理场的耦合作用[1]。典型的MEMS系统主要包括机、电、热、光、磁、流体、化学、生物等领域的作用。传统的有限元、边界元等数值计算方法在多物理场耦合计算中得到了广泛的应用。但是当系统中集成了具有传感或检测功能的集成电路元件或其他信号处理电路单元时,以有限元等数值计算为基础的CAD仿真工具由于计算效率低,难以适用于对如此复杂的耦合系统进行快速系统级仿真的要求[2]。利用宏模型对MEMS系统进行系统级仿真成为了求解MEMS耦合问题的有效方法。

　　宏模型又称降阶模型,是对真实器件特性、行为的近似表征,其特点是用一组含有少量未知数的代数微分方程组来近似描述原系统的状态量和输入、输出关系,同时包含器件的几何参数和材料属性,为解析模型,可以模拟保守与耗散系统的行为及系统的静态和动态特性。建立MEMS器件宏模型的方法主要有两大类[3]:解析法和数值法。解析法直接推导描述器件行为的解析表达式,常利用代数微分方程描述未知变量与输入变量和参数的物理关系,揭示器件遵循的客观物理规律,此方法建立的宏模型精度较高且物理概念清晰。但是由于大部分的MEMS器件具有不规则的几何结构,同时工作在复杂的边界和载荷条件之下,只能用偏微分方程来描述其物理行为,难以得到解析解,无法直接建立其解析宏模型。有限元等数值方法则通过变分原理建立原数学模型的等效积分形式,离散化求解区域,可以建立出求解基本未知量的代数微分方程组,并表示成规范化的矩阵形式。一般来说离散网格的节点数越多则数值解越精确。对得到的大规模有限元求解方程进行自由度缩聚,即在不改变系统输入输出关系的基础上大幅度减少方程数目,就可以建立描述原器件行为的数值宏模型。此种方法以目前常用的成熟且强大的有限元方法为基础,因此可以针对各种复杂的MEMS器件建立宏模型,应用范围广泛。Guyan法[4],基于内平衡实现的控制理论法[5],Krylov子空间法等是实现系统方程自由度缩聚的有效方法。其中的Krylov子空间法算法稳定,特别适用于大规模系统的降阶处理,但仅能应用于一阶微分方程的自由度缩聚。对于大多数MEMS系统来说需要进行动力分析以考虑器件随时间变化的动态行为,因此系统方程一般是用关于时间的二阶微分方程来描述的。本文基于二阶Krylov子空间理论,结合Arnoldi算法实现了直接对二阶微分方程系统的宏建模。

　　1　子空间投影法