大射电望远镜精调平台结构参数优化设计

　　文献[1]所设计的大射电望远镜精调平台,属于一种大型的Stewart平台,这种并联型平台以其特有的高精度、大刚度、良好的动力学性能和运动平稳的特点,得到了越来越广泛的应用。众所周知,机械结构的设计是否合理,在很大程度上决定了并联型平台性能的优劣,但对这种机械结构的优化设计,一直未引起人们足够的重视,大多数结构优化都集中在串联机构上。

　　本文首先推导了与并联型平台灵巧度性能指标紧密相关的Jacobian矩阵,然后以Jacobian矩阵的条件数为性能指标,应用Matlab语言工具箱提供的限定优化程序进行了结构参数优化,最后给出了结构参数优化设计结果。

　　1　Jacobian矩阵

　　Stewart平台的Jacobian矩阵是并联型平台一个极其重要的表达式,它描述了关节空间驱动杆的运动速度与可动平台运动速度之间的线性关系,即

　　l=J·P(1)

　　式中:J为6×6 Jacobian矩阵;l。为关节空间驱动杆的运动速度,可表示为

　　P。为可动平台的运动速度,可描述为与之固联的可动坐标系沿三轴的平动和绕三轴的转动(坐标系的选取如文献[1]所示),即

　　在文献[1]中,已经推得驱动杆长度与可动平台位姿之间的关系为

　　将上式两端分别对时间t求导,即可得到如下式所示的Jacobian矩阵

　　所以,6×6的Jacobian矩阵的元素可表示为

　　2　Stewart型平台优化设计性能指标

　　基于Jacobian矩阵,人们已经提出了一些用于Stewart型平台优化设计的灵巧度性能指标[5],在这些指标中,我们认为Jacobian矩阵的条件数是最令人满意的。如果Jacobian矩阵为非奇异矩阵,则式(1)两端左乘J-1,可得

　　假设驱动杆的输入速度有一定的偏差δl。,那么,可动平台的运动速度也会有一定的偏差δP。,代入式(4),可得如下关系:

　　式中:因子‖J‖·‖J-1‖刚好为Jacobian矩阵的条件数,记为C(J),它是衡量Jacobian矩阵之逆矩阵精度的一个量度。由式(8)可以看出,C(J)相当于关节空间驱动杆运动速度相对偏差的放大因子。因此,选择Jacobian矩阵的条件数为优化设计的目标函数,在进行Stewart型平台结构参数优化设计时,为了提高运动的精确性,应使机构的Jacobian矩阵的条件数C(J)在其操作范围内,取得尽可能小的值。

　　3　精调平台结构参数优化设计

　　3.1　目标函数

　　选取Jacobian矩阵的条件数C(J)为灵巧度性能指标,作为优化设计的目标函数,

　　式中:t为轨迹跟踪时间。

　　3.2　设计变量