多关节坐标测量机的坐标转换和参数标定

　　引 言

　　坐标测量机是商业化的产品，目前在国内外许多领域都有很好的应用和发展，如 CAD/CAM 中三维模型表面数字化和大型零部件几何尺寸的现场检测等[1～3]。

　　传统的坐标测量机通过相互垂直的 X、Y 和 Z 轴来控制运动方向，如图1 所示，而多关节式坐标测量机是一种新型的非笛卡尔式坐标测量机，本课题组设计了 6 自由度多关节式坐标测量机，如图 2 所示，它仿照人体关节结构，以角度基准取代长度基准，将六个杆件和一个测头通过六个旋转关节串联连接，一端固定在机座上，另一端(测头)可在空间自由运动，构成一个六自由度的封闭球形测量空间。与传统的笛卡尔式三坐标测量机相比，它具有测量范围大、方便灵活、精度较高等优点机械结构简单，环境适应性好等优点[4～6]。但是另一方面由于杆长对角度误差的放大作用和各个关节臂的位置误差的叠加作用，使得关节式坐标测量机的测量精度相对传统坐标测量机较低。因此空间坐标模型和参数标定直接关系到获取的三维数据的精度，是整个坐标采集系统的关键。

　　1 空间数学模型的建立

　　Denavit 和 Hartenberg[7]在1955提出对两个相互连接且相互运动的杆件建立两个特殊坐标系以研究其相对运动，我们仍沿用 Denavit- Hartenberg 方法，通过相邻两杆件间的相对位姿描述(坐标变换矩阵)逐级推导出探针头相对于底座坐标系的位置矩阵。多关节坐标测量机从机械结构上可以看成是串联的开式运动链，它由六个杆件和一个测头通过六个旋转关节串联而成。开链的一端固定在基座上，另一端可自由运动。其结构简图如图3 所示。图3中，1为固定底座，固定坐标系与之相联;2、3、4、5、6为光电编码器，用来进行角度测量;7、8为机械杆，用来保证测量的范围;9为测头。

　　1.1 杆件间相对位置的描述

　　如图4 所示，设杆件 i，其与杆件 i-1 通过关节i 相连，与杆件i+1 通过关节 i+1 相连。按Denavit-Hartenberg(简称 D-H)的方法，杆件 i 坐标系{OiXiYiZi}的坐标原点设在关节i 的轴线和关节i+1 的轴线的公垂线 diOi与关节i+1 的轴线相交处，Z 轴与关节 i+1 的轴线重合，X 轴与上述公垂线重合，且方向从关节 i 指向关节 i+1，Yi轴按右手法则确定。可知，一个杆件有四个参数：杆件扭角θi，杆件长度 di，Zi-1和 Zi两轴间的最小距离 ai，以及绕Xi轴(右手规则)由Zi-1轴向Zi轴的偏角αi。

　　1.2 空间坐标变换

　　2 六自由度多关节坐标测量机的标定方法(参数标定)

　　2.1 误差模型

　　影响多关节坐标测量机测量准确度的因素很多，多关节坐标测量机测头中心的坐标误差 P 主要是由各杆件的结构参数误差( di， ai， αi)和关节变量误差 θi所决定的。 θi是由于在多关节坐标测量机装配过程中，角度光学编码器的零位与理论模型中关节旋转零位不重合而产生的零位偏置误差; di反映的是杆件长度误差; ai是由于相邻关节的旋转轴线不相交于一点而产生的误差; αi是绕 Xi轴(右手规则)由 Zi-1轴向 Zi轴的偏角的角度误差[9～12]。假设这些参数误差足够小，对式(6)进行全微分，可近似得到测头的空间坐标误差方程：