静电拉伸薄膜反射镜的多电极成形控制

　　1　引　言

　　近年来，国内外在发展一种以柔性薄膜为基底材料的新概念超轻反射镜———薄膜反射镜。与传统的大口径反射镜相比，薄膜反射镜应用于空间领域具有加工周期短、成本低、收藏体积小、展开可靠性高、重量轻等优点[1]。

　　薄膜反射镜的成形控制是要建立在一定边界条件下反射镜面形与施加载荷的相互关系，并利用所建立的关系施加载荷以控制薄膜反射镜成形。目前国内外研究机构对薄膜反射镜的成形控制展开了大量研究，其中文献[2-4]利用基于泊松方程的薄膜小变形理论控制薄膜反射镜成形，方法简单易行，但只适用薄膜小变形。文献[5]基于Karman方程的大变形理论研究了均匀压强下的薄膜拉伸成形。文献[6-8]研究了基于大变形理论的有限元分区域优化控制方法，适合薄膜大变形拉伸，但求解过程复杂且不便于实时控制。文献[9-10]利用边界静电拉伸控制及多模激励控制对薄膜反射镜进行成形控制。文献[11]采用模糊控制理论控制薄膜反射镜成形，避免了复杂的数学控制模型的建立，但硬件要求高且工程实用性差。文献[12]从静电场分布模型的角度给出抛物面薄膜条件下多电极的电场强度分布和电场力，但求解难度较大且不能反映出初始面形和预应力施加情况。所以现有的薄膜反射镜成形控制求解往往过程复杂，工程实用性差。

　　基于上述原因，本文在原有的Karman方程基础上，通过推导计算给出一定边界条件下的反射镜抛物面面形与施加载荷的关系，进行了有限元仿真及实验验证，并给出及分析了相关结果。

　　2　静电拉伸薄膜反射镜成形控制

　　薄膜反射镜在均匀压强作用下的面形是近似抛物面，在非均匀压强作用下可以进一步提高面形精度[5，7，11]。本文基于Karman方程给出一种成形控制方法，具体如下：在已知所需抛物面面形下，反演求解一定边界条件下薄膜反射镜所施加的压强分布，再利用静电场理论转化为实验中所需离散电极环的电压值，利用推导结果来控制薄膜反射镜成形及提高面形精度。图1为成形控制推导示意图。

　　2.1　静电拉伸薄膜反射镜成形理论

　　薄膜反射镜中的薄膜周边被固定在圆环装置上，当平面薄膜受压强载荷作用时，薄膜上各点相对于初始平面薄膜位置产生位移，由于薄膜几乎没有横向刚度、不能承受弯矩的特点，由Karman方程圆薄膜理论化简后得到的圆薄膜大变形方程为[13]：

　　其中E为薄膜的弹性模量，h为薄膜厚度，Nr为应力函数，w为挠度值，r为极坐标沿薄膜口径方向，p为薄膜受到的压强。