四元数在手术导航系统中的应用

　　四元数(quaternion)最早是为了扩展复数应用而产生与发展起来的,B.P.哈密尔顿早在1843年就在数学中引入了四元数·但是由于当时数学工具所限,其优越性尚显示出来,直到20世纪60年代末这种方法才开始获得实际应用·随着空间技术、计算技术的发展,四元数的优越性日渐引起重视·人们发现四元数也可以作为表现旋转的可选择方法之一应用于手术导航系统中·

　　手术导航系统[1~3]是在手术过程中,利用计算机技术将术前或术中病人影像数据、实际手术过程中病人的病变体位以及手术工具所在的坐标系统统一起来,根据实际手术的需要对手术工具周围的组织做出相应的显示,对手术进行实时的导航·简单地说,手术导航系统将病人术前或术中影像数据和手术床上病人解剖结构准确对应,手术中跟踪手术器械并将手术器械的位置在病人影像上以虚拟探针的形式实时更新显示,使医生对手术器械相对病人解剖结构的位置一目了然,影像导航可使外科手术更快速、更精确、更安全[4,5]·

　　由此可见,定位和空间配准是手术导航系统的关键技术·而在不同坐标系下定位又必然涉及坐标系之间的映射变换·所以本文将详细介绍四元数在手术导航定位系统坐标映射变换中的应用以及四元数在手术导航系统空间配准中的应用。

　　1　坐标变换中的应用

　　手术导航系统面临的一个关键技术是有关坐标转换的问题,具体可归结为以下描述(如图1所示)·

　　已知:①引导工具端点P在全局坐标系下的位置(x,y,z);②局部参考坐标系的坐标系原点o的位姿,包括坐标原点的位置(ox, oy, oz)及其旋转量的四元数表示值q0, q1, q2, q3·求工具端点P在局部参考坐标系下的位置(u,v,w)·

　　由机器人学中有关坐标的齐次变换理论[6]可知,要解决此问题关键是坐标映射变换矩阵的确定·坐标映射变换矩阵推导如下:

　　第一步　坐标变换中的旋转量的推导·

　　定义e为旋转特征向量,以e为旋转轴,旋转角度α,则方向余弦矩阵(即坐标变换中的旋转量)可表示为

(3)

　　设方向余弦矩阵Aα的元素为aij,旋转特征向量e的元素可表示为

　　根据旋转特征向量和旋转角,定义四元数矢量部分和标量部分如下

(10)

　　以上确定了齐次坐标变换中的旋转量·

　　第二步　确定齐次坐标变换矩阵·由机器人学中齐次变换理论可知

　　T即为所求的坐标映射变换矩阵·式中ox,oy,oz为坐标原点的位置,亦即局部参考坐标系的移动量·