Zernike多项式波面拟合的回归分析方法

　　1　引　言

　　随着面阵CCD的问世和计算机技术的快速发展,激光干涉测量方法已经成为高精度光学加工面形测量的主要手段[1]。随着对加工精度要求的提高,以往简单地从条纹分布来估计面形或波面质量的定性分析已不能满足高精度测量的要求,必须利用计算机对干涉条纹图像进行数字化分析,从中获得被测波面的信息,达到高精度自动化测量光学元件表面质量的目的[2]。干涉条纹数字化分析的重要环节是将被测波面进行多点采样,并用一个线性无关的基底函数系拟合这些数据点,由连续的基底函数来表征被测波面的波象差函数或面形。在众多的基底函数系中,Zernike多项式因其对波面的拟合具有收敛性好、提供的有用信息多等特点而被广泛采用[3]。

　　近些年来,有很多文献对波面拟合方法进行了研究:文献[4]直接从矛盾方程组入手,应用Householder变换把系数矩阵正交三角化,直接求解拟合系数。该方法避免了构造法方程组,因而也避免了因构造法方程组的严重病态而引入的计算误差。文献[5]指出用Zernike多项式的协方差矩阵的线性变换来直接求解多项式系数,该算法求解Zernike系数时不需要经过正交化过程,很适合于编写拟合过程的计算机程序。在上述这些算法的求解过程中,通常都是凭经验选取固定的Zernike多项式项数(一般都选取Zernike多项式的前36项)来完成波面拟合。众所周知,Zernike多项式是一个函数系,原则上讲,选择尽可能高阶的Zerniks多项式来拟合干涉波面所得到的干涉波面函数与实际的光学干涉波面最为接近,也就是说,采用较高阶的Zernike多项式来拟合干涉波面,可以使光学干涉波面的拟合精度尽可能提高。然而在实践中发现,当把Zernike多项式的项数提高到一定程度时,拟合的波面函数的一致性遭到了严重的破坏,其拟合精度反而大大降低[6]。因此固定的选取36项多项式的拟合结果往往不是最优的,那么在进行波面拟合时,究竟该选取哪些Zernike多项式的模式组合进行拟合才能使结果最优,这是必须要解决的首要问题。

　　本文针对波面拟合过程中的Zernike多项式项数选取问题,提出了利用逐步回归分析方法确定Zernike多项式项数的新方法。通过对构造的回归方程组进行逐步回归分析可以从众多的多项式模式中选取影响显著的模式,进而得到波面的最优模式组合。计算机仿真分析验证了该方法的有效性。

　　2　Zernike多项式波面拟合方法

　　在直角坐标系中,将波面φ(x,y)表示为n项Zernike多项式[7]的线性组合

　　其中,zn是第n项Zernike多项式,kn是第n项Zernike多项式的系数。

　　对于m个离散测量数据点i(xi,yi),i=1,2,3,…,m,令zij=zj(xi,yi),i=1,2,3,…,m;j=1,2,3,…,n。