测定应力集中系数的灰色建模方法

　　引言

　　确定应力集中处的最大应力、应变值是解决应力集中问题的关键,应变电测法以其成本低、使用方便、输出信号便于处理和具有实时、静动态均适用的特点,在工程中得到广泛应用,尤其在测试局部应力方面。但由于应变电测法本身的缺陷,很难直接测得应力集中处的最大应变值。因此,为发挥应变电测的优势、克服其缺陷,人们从测量方法、数据处理等方面进行了广泛的研究和探索[1～3]。实践表明,采用恰当的数据处理方式,可以有效地弥补应变电测的缺陷,并提高其准确性和适用范围。

　　本文采用改进的灰色建模方法,利用在应力集中处测得的应变值,建立动态模型。作为实例,对工程中常见的带台肩的扭转轴、带双凹槽的拉伸板、带偏心孔的纯弯曲梁试件进行应变电测,用GM(1,1)修正模型[4]计算应力集中处的最大应变值,并与现有的测量结果[5,6]进行比较。

　　1　灰色建模方法

　　灰色预测模型(gray model,简称GM模型)是灰色系统理论的核心组成部分之一。其建模方法的基本思想是通过对某一参数的原始数据列进行累加生成;对生成的数据建立微分形式的模型,求解此微分方程;作还原处理后,得到原数据列的动态模型。相对其他方法来说,GM模型所需的建模数据较少,而且事先不必知道原始数据的分布特征,能够较好地处理数据的随机性,从而反映出被研究对象的变化特征。

　　设原始数据列为

　　则GM(1,1)模型的微分方程表达为

　　传统的对微分方程(2)的参数u,a的求解过程,实质上是将微分方程差分化,再用最小二乘法求解,因此会带来一些误差。本文采用改进的GM(1,1)建模方法[4],考虑应力集中处主轴方向的应变值是一个非负递增的序列,其累加序列X(1)(k)是类指数形的递增序列。故采用线性方程和指数方程叠加拟合,使模型的精度得以提高。因此式(4)可改进为

　　此模型的近似解法如下:设

　　取v～m(m=1,2,…,n-3)的平均值作为v的近似解,有

　　则式(5)可写为

　　利用最小二乘法求解式(12),可得到c1、c2、c3的估计值,则GM(1,1)改进模型为

　　2　应变电测与应变模型

　　为说明利用GM(1,1)修正模型建立应力集中处的应变模型,进而确定应力强度因子这种方法的可行性,采用5(1×1)mm应变梯度片对3种典型试件在弹性范围内进行了应变电测试验,并对结果进行了对比分析。

　　2.1　带台肩的圆轴

　　试件的材料为45号钢,试件的尺寸如图1所示,两端直径D=24 mm,中段直径d=12 mm,台肩处圆角过渡半径R=5 mm。由于试件直径较小,为使应变片能粘贴紧密,在应力集中处沿45°方向只粘贴了应变梯度片中的3片(见图1)。测量时采用