一种基于压力泊松方程的流体结构紧耦合算法

    对于工程中实际遇到的流固耦合系统来说，往往流体和固体的材料特性相差较大，整体刚度矩阵在计算过程中容易恶化，常常导致计算失败，因此直接求解整体耦合系统方程对复杂的耦合系统目前还存在一些困难[1―3]。尽管国内、国外许多学者从不同角度对流固耦合进行大量的研究，取得了大量的成果，研究主要集中在顺序或同步迭代耦合上[4―8]，对紧耦合算法研究相对较少。在 CFD 方面，基于压力泊松方程的计算格式已得到广泛的成功应用[9]，该方法也寄希望用来求解流固耦合系统。作者就是基于这种思想，将 CFD 中求解压力泊松方程的基本方法用于耦合系统的求解。本文首先基于增量有限元格式和耦合界面条件得到整体耦合系统的控制方程。然后从耦合系统方程中推导出与流体控制方程一致的等价方程，进而得到基于 FSI 的压力泊松方程，通过求解耦合系统一致的等价方程就能获得耦合系统的解，而不需要直接求解整体耦合系统的控制方程。最后通过数值算例，证实该数值方法的可靠性。

    1 耦合系统的控制方程

    1.1 ALE 描述下流体控制方程组的有限元离散    利用瑞利里兹-伽辽金有限元方法，ALE 描述下的控制方程的有限元增量形式可表达为[10]：

式中：下标t、下标t +Δt 代表时间；上标“·”表示时间导数；T(  ) 表示矢量或矩阵的转置；ftQ 代表包含所有影响的等价内力矢量；ΔV 和ΔP 代表速度矢量和压力的增量；ΔH 表示连续性方程迭代余量；系数fM 表示流体质量矩阵； ( )fC V 表示流体对流项矩阵；fK 表示流体粘性矩阵；G 为散度算子矩阵；V 和 P 分别代表流场速度矢量和压力；fF 表示作用在流体上的外力矢量。

    1.2 结构动力学控制方程的有限元离散

    几何非线性情况下结构动力学的基本方程采用有限单元法进行数值离散，其增量有限元形式为：

式中：下标t、下标t +Δt 代表时间；stQ 代表 t 时刻结构的内力和惯性力；ΔU 、ΔU 和ΔU 分别表示结构加速度、速度和位移矢量的增量；sF 表示作用在固体上的外力矢量。

    1.3 耦合界面边界条件

    在流体与结构的耦合界面fsΓ ，必须满足速度协调条件：

式中：fiv 、siv 和fsiv 分别表示流体速度、结构速度和流固耦合界面速度在i 方向的分量；sjn 和fjn 分表示固体和流体界面的单位外法线矢量在 j 方向的分量；fsiτ 表示作用在耦合界面上的外力在i 方向的分量。