抽样点对基于Zernike多项式曲面拟合精度的影响

　　1　引　言

　　长期以来,非球面的制造和检测技术一直是制约其广泛应用的两大难题,对大口径非球面的加工与检测更是如此[1]。在实际的加工过程中,经常对待加工元件进行基于Zernike多项式的曲面拟合,用得到的拟合曲面去反应实际非球面与标准面的误差,并根据误差的大小指导整个非球面的实际加工过程[2],以提高加工的效率。在非球面加工过程中,完成非球面初始球面的铣磨成型后,其面形误差一般在数十个微米的量级(对于大尺寸深度非球面,面形误差将达到数百微米),不适合用干涉计量等高精度的手段进行测量。为了达到面形精度的最终要求,在粗磨和精磨阶段必须有相应的较低精度的检测和面形评价方法和手段,用以指导加工过程。现研究了测量设备精度和抽样点数对Zernike多项式拟合精度的影响,研究了如何实现对由较低精度的测量设备得到的抽样数据进行较高精度的拟合,通过计算机模拟实验证实,增加抽样点的办法可以实现对由较低精度的测量设备得到的抽样数据进行较高精度的拟合。

　　2　Zernike多项式

　　Zernike多项式[3]是以半径和方位角定义的极坐标形式表示的多项式,其各项在定义的连续单位圆内正交。Zernike多项式的具体表达式为:

　　其中R^mn(ρ)径向函数,定义为:

　　根据径向函数的定义,Zernike各项的表达式可以借助Mathematica5.0强大的符号计算功能得出[4]。

　　Zernike多项式具有以下性质:

　　(1) Zernike多项式在连续的单位圆上正交,在圆内离散点处不正交,离散情况下要对Zernike多项式进行处理。

　　(2) Zernike多项式具有旋转对称性。

　　(3) Zernike多项式的各项与初级像差有着一定的对应关系,因此在光学像差的分析中经常用到Zernike多项式。

　　3　拟合计算

　　若被检波面或面形用Zernike多项式的前n项进行拟合,则被检波面或面形可以表示为:

　　在求解拟合系数时,通常有Gram-Schmidt正交化法、协方差方法[5]与Householder方法[6]。文中在求解拟合系数的过程中,采用了协方差矩阵方法。具体算法如下:

　　向量a₁,a₂,…,an就是所要求的拟合系数。

　　4　计算机模拟

　　4.1　建立模型

　　不失一般性,以一口径为400mm,F=800mm的抛物面为例进行模拟实验,抛物面的方程可写为:

　　对上述得到的离散数据点,采用36项Zernike多项式进行拟合,并采用协方差方法来求取Zernike多项式各项的系数,最终得到拟合曲面为:W(x,y)。作d(x,y)=W(x,y)-F(x,y)-V(x,y);令Max=max|d(x,y)|);RMS为d(x,y)的标准差。